题目内容
【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点(可以运动到点A和点B)，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．
(1) 如图1，①求证：AE＝DF； ②若EM=3，∠FEA=45°，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，请直接写出△GEF的的形状，并求出点F到AB边的距离；
（2）改变平行四边形ABCD中∠B的度数，当∠B=90°时，可得到矩形ABCD（如图2），请判断△GEF的形状，并说明理由；
（3）在(2)的条件下，取MG中点P，连接EP，点P随着点E的运动而运动，当点E在线段AB上运动的过程中，请直接写出△EPG的面积S的范围．
【答案】（1）FH=3
； (2)等腰直角三角形，证明详见解析； （3） 1≤S≤2.
【解析】试题分析：
（1）①由已知条件易证△AME≌△DMF，从而可得AE=DF，ME=MF；②由ME=MF结合MG⊥EF于点M可得GE=GF，即可得到△GEF是等腰三角形；过点F作FN⊥BA的延长线于点N，结合∠FEA=45°可得△FEN是等腰直角三角形，即可由ME的长度求得FN的长度；
（2）过点G作GH⊥AD于点H，结合已知条件易证△AME≌△HGM，从而可得ME=MG，由此即可得到∠MEG=45°，结合（1）中所得可知△GEF是等腰三角形，由此可得△GEF此时是等腰直角三角形；
（3）由已知可得S=
S△GME，由（2）可知△GME是等腰直角三角形，其面积为
ME2，则由此可得S=
ME2，结合在Rt△AME中，ME的长度随AE的长度的增大而增大即可求出S的取值范围了.
试题解析：
（1）①∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠EAM=∠FDM，∠AEM=∠DFM，
∵点M是AD的中点，
∴AM=DM，
∴△AME≌△DMF，
∴AE=DF；
②∵△AME≌△DMF，
∴ME=MF，
又∵MG⊥EF于点M，
∴MG是EF的垂直平分线，
∴GE=GF，
∴△GEF是等腰三角形；
过点F作FN⊥BA的延长线于点N，则∠FNE=90°，
∵∠AEF=45°，EM=3，
∴△EFN是等腰直角三角形，EF=6，
∴FN=
，即点F到AB的距离为
；
（2）和（1）同理可得△GEF是等腰三角形，过点G作GH⊥AD于点H，
又∵四边形ABCD是矩形，GM⊥EF于点M，
∴∠GHA=∠GME=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABGH是矩形，∠AME+∠GMH=90°，∠HGM+∠MGH=90°，
∴GH=AB=2，∠AME=∠HGM，
又∵AM=
AD=2，
∴AM=GH，
∴△AME≌△HGM，
∴ME=GM，
∴△MGE是等腰直角三角形，
∴∠MEG=45°，
又∵GE=GF，
∴∠FGE=∠MEG=45°，
∴∠EGF=180°-45°-45°=90°，
∴△GEF是等腰直角三角形；
（3）如图3，由（2）可知△GEM是等腰直角三角形，
∴S△GME=
EM2，
又∵点P是GM的中点，
∴S=
S△GME=
EM2=
EM2，
∵在Rt△AME中，当AE=0时，ME最小=AM=2；当AE=AB=2时，ME最大=
，
∴S最小=
EM2=1，S最大=
EM2=2，
∴S的取值范围为： 
.
