Question

【题目】如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，且∠AEC=∠ODB．
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当tan∠AEC= ，BC=8时，求OD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线BD和⊙O相切，

∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC，

∴∠ABC=∠ODB，

∵OD⊥BC，

∴∠DBC+∠ODB=90°，

∴∠DBC+∠ABC=90°，

∴∠DBO=90°，

∴直线BD和⊙O相切．

（2）解：∵OD⊥BC，BC=8，

∴FB=FC=4，

∵tan∠AEC=tan∠ODB=tan∠OBF= ，

∴ = ， = ，

∴DF= ，OF=3，

∴OD=OF+DF=3+ = ．

【解析】（1）由∠AEC=∠ODB、∠AEC=∠ABC知∠ABC=∠ODB，根据∠DBC+∠ODB=90°得∠DBC+∠ABC=90°，即可得证；（2）由OD⊥BC、BC=8知FB=FC=4，根据tan∠AEC=tan∠ODB=tan∠OBF= ，求得DF= ，OF=3，据此可得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对垂径定理的理解，了解垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．