Question

如图，在Rt△ABC中，点D在直角边BC上，DE平分∠ADB，∠1=∠2=∠3，AC=5cm．
（1）求∠3的度数；
（2）判断DE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）求BE的长．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2=∠3，
∴∠1+∠2+∠3=90°，即3∠3=90°，
∴∠3=30°；

（2）DE⊥AB．
理由：在△ADB中，∠2=∠3，
∴△ADB是等腰三角形；
又∵DE平分∠ADB，
∴DE是边AB上的中垂线，
∴DE⊥AB；

（3）由（1）知，Rt△ABC中，∠3=30°，
∴AC=AB（30°角所对的直角边是斜边的一半）；
又由（2）知，DE是边AB上的中垂线，
∴BE=AB，
∴BE=AC=5cm．
分析：（1）根据三角形内角和定理解答；
（2）根据已知条件∠2=∠3、DE平分∠ADB，可以判定DE是等腰△ABD底边AB上的中垂线，即DE⊥AB；
（3）利用（1）中的30°的∠3所对的直角边是斜边的一半知AC=AB；然后根据（2）中的DE是边AB的中垂线的性质知BE=AB；所以BE=AC=5cm．
点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形．等腰三角形的底边上的中线、垂线、顶角的角平分线“三线合一”．