题目内容
【题目】如图所示，在△ABC中，BC＝4，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在直线EF上，∠CBP的平分线交CE于点Q，当点Q把线段EC分成的两线段之比是1：2时，线段EP、BP满足的数量关系是__________________________．
【答案】
或
.
【解析】
根据题意，点Q把线段EC分成的两线段之比是1：2时，则可以分为两类进行讨论：①
，②
；利用相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，即可得到答案.
解：根据题意，∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴△EGQ∽△CBQ，∠PGB=∠CBG，
∴
.
∵BQ平分∠CBP，
∴∠PBG=∠CBG，
∴∠PGB=∠PBG，
∴BP=PG，
∵GE=EP+PG，
∴GE=EP+BP.
∵点Q把线段EC分成的两线段之比是1：2，
∴或；
①当时，如图：
，
∴
，
∴
，
∴；
②当时，如图：
，
∴
，
∴
，
∴；
∴故答案为：或.
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