题目内容
【题目】如图,已知抛物线与轴分别交于原点和点,与对称轴交于点.矩形的边在轴正半轴上,且,边,与抛物线分别交于点,.当矩形沿轴正方向平移,点,位于对称轴的同侧时,连接,此时,四边形的面积记为;点,位于对称轴的两侧时,连接,,此时五边形的面积记为.将点与点重合的位置作为矩形平移的起点,设矩形平移的长度为.
(1)求出这条抛物线的表达式;
(2)当时,求的值;
(3)当矩形沿着轴的正方向平移时,求关于的函数表达式,并求出为何值时,有最大值,最大值是多少?
【答案】(1)y=-x2+2x.(2).(3)S=-t2+t-,当t=时,S有最大值,最大值是.
【解析】分析: (1)根据点E、F的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;
(2)找出当t=0时,点B、N的坐标,进而可得出OB、BN的长度,再根据三角形的面积公式可求出S△OBN的值;
(3)分0<t≤4和4<t≤5两种情况考虑:①当0<t≤4时(图1),找出点A、B、M、N的坐标,进而可得出AM、BN的长度,利用梯形的面积公式即可找出S关于t的函数关系式,再利用二次函数的性质即可求出S的最大值;②当4<t≤5时,找出点A、B、M、N的坐标,进而可得出AM、BN的长度,将五边形分成两个梯形,利用梯形的面积公式即可找出S关于t的函数关系式,再利用二次函数的性质即可求出S的最大值.将①②中的S的最大值进行比较,即可得出结论.
详解:
(1)将E(5,5)、F(10,0)代入y=ax2+bx,
,解得:,
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x.
(2)当t=0时,点B的坐标为(1,0),点N的坐标为(1,),
∴BN=,OB=1,
∴S△OBN=BNOB=.
(3)①当0<t≤4时(图1),点A的坐标为(t,0),点B的坐标为(t+1,0),
∴点M的坐标为(t,-t2+2t),点N的坐标为(t+1,-(t+1)2+2(t+1)),
∴AM=-t2+2t,BN=-(t+1)2+2(t+1),
∴S=(AM+BN)AB=×1×[-t2+2t-(t+1)2+2(t+1)],
=-t2+t+,
=-(t-)2+,
∵-<0,
∴当t=4时,S取最大值,最大值为;
②当4<t≤5时(图2),点A的坐标为(t,0),点B的坐标为(t+1,0),
∴点M的坐标为(t,-t2+2t),点N的坐标为(t+1,-(t+1)2+2(t+1)),
∴AM=-t2+2t,BN=-(t+1)2+2(t+1),
∴S=(5-t)(-t2+2t+5)+(t-4)[5-(t+1)2+2(t+1)],
=(t3-3t2+5t+25)+(-t3+t2+t-),
=-t2+t-,
=-(t-)2+,
∵-<0,
∴当t=时,S取最大值,最大值为.
∵=<,
∴当t=时,S有最大值,最大值是.