题目内容

【题目】如图,已知抛物线轴分别交于原点和点,与对称轴交于点.矩形的边轴正半轴上,且,边与抛物线分别交于点.当矩形沿轴正方向平移,点位于对称轴的同侧时,连接,此时,四边形的面积记为;点位于对称轴的两侧时,连接,此时五边形的面积记为.将点与点重合的位置作为矩形平移的起点,设矩形平移的长度为.

(1)求出这条抛物线的表达式;

(2)当时,求的值;

(3)当矩形沿着轴的正方向平移时,求关于的函数表达式,并求出为何值时,有最大值,最大值是多少?

【答案】(1)y=-x2+2x.(2).(3)S=-t2+t-,当t=时,S有最大值,最大值是

【解析】分析: (1)根据点E、F的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;

(2)找出当t=0时,点B、N的坐标,进而可得出OB、BN的长度,再根据三角形的面积公式可求出SOBN的值;

(3)分0<t≤44<t≤5两种情况考虑:①当0<t≤4时(图1),找出点A、B、M、N的坐标,进而可得出AM、BN的长度,利用梯形的面积公式即可找出S关于t的函数关系式,再利用二次函数的性质即可求出S的最大值;②当4<t≤5时,找出点A、B、M、N的坐标,进而可得出AM、BN的长度,将五边形分成两个梯形,利用梯形的面积公式即可找出S关于t的函数关系式,再利用二次函数的性质即可求出S的最大值.将①②中的S的最大值进行比较,即可得出结论.

详解:

1)将E(5,5)、F(10,0)代入y=ax2+bx,

,解得:

∴抛物线的表达式为y=-x2+2x.

(2)当t=0时,点B的坐标为(1,0),点N的坐标为(1,),

BN=,OB=1,

SOBN=BNOB=

(3)①当0<t≤4时(图1),点A的坐标为(t,0),点B的坐标为(t+1,0),

∴点M的坐标为(t,-t2+2t),点N的坐标为(t+1,-(t+1)2+2(t+1)),

AM=-t2+2t,BN=-(t+1)2+2(t+1),

S=(AM+BN)AB=×1×[-t2+2t-(t+1)2+2(t+1)],

=-t2+t+

=-(t-2+

-<0,

∴当t=4时,S取最大值,最大值为

②当4<t≤5时(图2),点A的坐标为(t,0),点B的坐标为(t+1,0),

∴点M的坐标为(t,-t2+2t),点N的坐标为(t+1,-(t+1)2+2(t+1)),

AM=-t2+2t,BN=-(t+1)2+2(t+1),

S=(5-t)(-t2+2t+5)+(t-4)[5-(t+1)2+2(t+1)],

=t3-3t2+5t+25)+(-t3+t2+t-),

=-t2+t-

=-(t-2+

-<0,

∴当t=时,S取最大值,最大值为

=

∴当t=时,S有最大值,最大值是

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