题目内容

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+2与x轴、y轴交于A、B两点，动点P从A出发沿射线AO运动，动点Q同时从点B出发沿OB的延长线运动，点P、Q的运动速度均为每秒一个单位长．连接PQ交直线AB于D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）设点P的运动时间为t秒，试求△PBQ的面积S与t的关系式．
（3）是否存在合适的t值，使△PBQ与△AOB的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）过P作PE⊥AB与E，DE的长度是固定值还是不确定的？直接写出你的判断结果不必说明理由．

解：如图：
（1）由x=0，y=2，B（0，2）；
由y=0，x=-2，A（-2，0）；

（2）当0≤t≤2时，AP=t，PO=2-t，S= $\text{[math]}$ ；
当t＞2时，AP=t，PO=t-2，S= $\text{[math]}$ ；

（3）存在．
S_△AOB= $\text{[math]}$ =2．
当 $\text{[math]}$ =2时，t²-2t+4=0无解．
当 $\text{[math]}$ =2时，t²-2t-4=0，t= $\text{[math]}$ ，t= $\text{[math]}$ 符合题意．
∴当t= $\text{[math]}$ 时，S_△AOB=S_△PCQ．

（4）DE的长度为定值，且DE= $\text{[math]}$
理由如下：过P作PF∥OB交AB于F，
∵AO=BO=2，x轴⊥y轴．
∴AB= $\text{[math]}$ ，且△AOB、△APE、△FPA均是等腰直角三角形．
∵AP=PF=BQ，
∴△PFD≌△QBD．
∴D是BF的中点．
∵PE⊥AB，
∴E是AF的中点，
∴DE= $\text{[math]}$ ．
P在原点的右侧时类似．仍有DE= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）令x=0，或y=0．即可得到B（0，2）；A（-2，0）；
（2）分类讨论：当0≤t≤2，或t＞2，利用坐标表示有关线段长，然后根据三角形的面积公式得到关系式；
（3）DE的长度为定值．
点评：本题考查了一次函数的性质：y=kx+b（k≠0）为一条直线，点在直线上，点的坐标满足解析式．也考查了三角形的面积公式以及等腰直角三角形的性质．