题目内容
已知△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点D在BC边上移动,连接AD,将△ADC沿直线AD翻折,此时点C的对应点为C1,AC1交边BC于点E.(1)当点D移动到AC1与BC垂直时,此时CD的长为多少?
(2)设CD=x,BE=y,求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围;
(3)在点D的移动过程中,是否可以使得△EC1D成为等腰三角形?若存在,请直接写出x的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)当AC1与BC垂直时,点E是BC的中点,有CE=
BC=4,由勾股定理可求得AE=3,由于C1D=CD,A1C=AC,在Rt△C1DE中,由勾股定理可求得ED的值,再求得CD的值;
(2)易证△ABE∽△D1CE,得到AB:C1D=AE:ED=BE:EC1,先求得ED,再得到BE与CD的关系式;
(3)分两种情况:当C1E=ED时和当C1E=C1D时,可由(2)中的关系式求得.
1 |
2 |
(2)易证△ABE∽△D1CE,得到AB:C1D=AE:ED=BE:EC1,先求得ED,再得到BE与CD的关系式;
(3)分两种情况:当C1E=ED时和当C1E=C1D时,可由(2)中的关系式求得.
解答:解:(1)∵AC1与BC垂直,AB=AC=5,BC=8
∴CE=
BC=4
在Rt△AEC中,AE=
=3
∵C1D=CD,AC1=AC=5,EC1=AC1-AE,ED=EC-CD
∴在Rt△EDC1中,有ED2+EC12=C1D2,即CD2=(5-3)2+(4-CD)2,
解得:CD=
;
(2)
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠C1=∠C
∴∠C1=∠B
又∵∠AEB∠DEC1
∴△AEB∽△DEC1
∴AB:DC1=AE:DE=BE:C1E
∴5:C1D=AE:(8-BE-CD)=BE:(5-AE)
∵BE=y,CD=C1D=x
∴5:x=AE:(8-y-x)=y:(5-AE)
解得AE=
,y=
(0<x<4);
(3)存在.
当C1E=ED时,由于△AEB∽△DEC1,则有y=BE=AE=
∴y=
∴
=
∴x=3;
当C1E=C1D时,由于△AEB∽△DEC1,则有y=
=BE=AB=5,
解得x=5-
.
∴CE=
1 |
2 |
在Rt△AEC中,AE=
AC2-CE2 |
∵C1D=CD,AC1=AC=5,EC1=AC1-AE,ED=EC-CD
∴在Rt△EDC1中,有ED2+EC12=C1D2,即CD2=(5-3)2+(4-CD)2,
解得:CD=
5 |
2 |
(2)
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠C1=∠C
∴∠C1=∠B
又∵∠AEB∠DEC1
∴△AEB∽△DEC1
∴AB:DC1=AE:DE=BE:C1E
∴5:C1D=AE:(8-BE-CD)=BE:(5-AE)
∵BE=y,CD=C1D=x
∴5:x=AE:(8-y-x)=y:(5-AE)
解得AE=
25-xy |
5 |
50(x-4) |
x2-25 |
(3)存在.
当C1E=ED时,由于△AEB∽△DEC1,则有y=BE=AE=
25-xy |
5 |
∴y=
25 |
5+x |
∴
25 |
5+x |
50(x-4) |
x2-25 |
∴x=3;
当C1E=C1D时,由于△AEB∽△DEC1,则有y=
50(x-4) |
x2-25 |
解得x=5-
10 |
点评:本题考查了翻折的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质.
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