Question

把一边长为60cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）如图1，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为576cm²，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）如图2，若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分正好折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为2800cm²，求此时长方体
盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．

Answer 1

考点：二次函数的应用,一元二次方程的应用

专题：

分析：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（60-2x）²=576，求出即可；
②设剪掉的正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm²，则y与x的函数关系为：y=4（60-2a）a，利用二次函数最值求出即可；
（2）设剪掉的长方形盒子的高为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为2800cm²，得出等式方程求出即可．

解答：解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm，
则（60-2x）²=576，
即60-2x=±24，
解得x₁=42（不合题意，舍去），x₂=18，
答：剪掉的正方形的边长为18cm；

②侧面积有最大值，
设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm²，
则y与x的函数关系为：y=4（60-2a）a，
即y=-8a²+240a=-8（a-15）²+1800，
∵-8＜0，
∴y有最大值，
即当a=15时，y_最大=1800，
即当剪掉的正方形的边长为15cm时，长方形盒子的侧面积最大为1800cm²；

（2）设剪掉的长方形盒子的高为xcm，则长为60-2x，宽为30-x，
表面积为：2（60-2x）（30-x）+2x（30-x）+2x（60-2x）=2800，
解得：x₁=-40（不合题意，舍去），x₂=10，
即剪掉的长方形盒子的高为10cm，
则长为：60-2x=60-2×10=40（cm），
宽为：30-x=30-10=20（cm），
此时长方体盒子的长为40cm，宽为20cm，高为10cm．

点评：本题考查了二次函数的应用及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，建立数学模型，利用所学知识求解．