题目内容

已知一次函数y=2x-k与反比例函数y= $数学公式$ 的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标为3．
（1）分别求两个函数的关系式；
（2）求A、B两点的坐标及△AOB的面积；
（3）若直线AB上有一点P，使得△APO∽△AOB，求P点坐标．

解：（1）∵一次函数y=2x-k与反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标为3，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得k=4．
∴一次函数的解析式为：y=2x-4；反比例函数的关系式为：y= $\text{[math]}$ ；

（2）∵一次函数的解析式为y=2x-4；反比例函数的关系式为y= $\text{[math]}$ ，
∴2x-4= $\text{[math]}$ ，解得x₁=3，x₂=-1，
∴A（3，2），B（-1，-6）；

∵令直线AB解析式y=2x-4中y=0，
解得x=2，
∴直线AB与x轴交点坐标为C（2，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△COB= $\text{[math]}$ ×2×2+ $\text{[math]}$ ×2×|-6|=8；

（3）∵A（3，2），B（-1，-6），
∴OA²=3²+2²=13，AB= $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$
∵△APO∽△AOB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OA²=AP•AB，即13=AP•4 $\text{[math]}$ ，
解得AP= $\text{[math]}$ ，
∵点P在直线y=2x-4上，
∴设P（x，2x-4），
∴AP= $\text{[math]}$ ，
解得x=3± $\text{[math]}$ ，
∴P点坐标为（3+ $\text{[math]}$ ，2+2 $\text{[math]}$ ）或（3- $\text{[math]}$ ，6-2 $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）首先把A的横坐标为3代入两个函数的解析式中，然后就可以确定k的值，进而得出两个函数的关系式；
（2）利用两个函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到A，B两点的坐标；求出直线AB与x轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出△AOB的面积；
（3）先根据AB两点的坐标得出OA²及AB的长，再由△APO∽△AOB得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故可得出AP的长，因为点P在直线y=2x-4上，所以设P（x，2x-4），根据两点间的距离公式即可得出AP的表达式，得出x的值，进而得出结论．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点及两点间的距离公式是解答此题的关键．