题目内容
【题目】如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交CA的延长线于点E,连接AD、DE.
(1)求证:D是BC的中点;
(2)若DE=3,BD﹣AD=2,求⊙O的半径;
(3)在(2)的条件下,求弦AE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)⊙O的半径为;(3)AE=
.
【解析】试题分析:(1)根据直径所对的圆周角是直角得到AD⊥BC,应用等腰三角形的三线合一证得点D为BC的中点;
(2)应用等腰三角形的性质和判定证得BD=DE=3,进而求得BD=3,AD=1,应用勾股定理求得AB的长,即可得到半径的长;
(3)解法一:通过证明△CAB∽△CDE,应用相似三角形的性质解得CE的长,再求AE的长;
解法二:连接BE,通过证明△ADC∽△BEC,解得CE的长,再求AE的长.
试题解析:(1)证明:∵AB为⊙O的直径,
∴AD⊥BC,
又∵AB=AC,
∴D是BC的中点.
(2)解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
又∵∠B=∠E,
∴∠C=∠E,则DC=DE,
∴BD=DE=3,
又BD-AD=2,
∴AD=1,
在Rt△ABD中,BD=3,AD=1,
∴AB=,
则⊙O的半径为.
(3)解法一:在△CAB和△CDE中,
∠B=∠E,∠C=∠C(公共角),
∴△CAB∽△CDE,
∴,
∵CA=AB=,
∴,
∴AE=CE-AC==
.
解法二:连接BE,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠BEC=,
在△ADC和△BEC中,
∠ADC=∠BEC=,∠C=∠C,
∴△ADC∽△BEC,
∴,
∴,
∴AE=CE-AC==
.
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