题目内容

【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边BC,AB上的中点,连接DE并延长至点F,使EF=2DF,连接CE、AF.

(1)证明:AF=CE;

(2)当∠B=30°时,试判断四边形ACEF的形状并说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)四边形ACEF是菱形,理由见解析.

【解析】试题分析:(1)由三角形中位线定理得出DE∥AC,AC=2DE,求出EF∥AC,EF=AC,得出四边形ACEF是平行四边形,即可得出AF=CE;

(2)由直角三角形的性质得出∠BAC=60°,AC=AB=AE,证出△AEC是等边三角形,得出AC=CE,即可得出结论.

试题解析:(1)∵点D,E分别是边BC,AB上的中点,∴DE∥AC,AC=2DE,

∵EF=2DE,∴EF∥AC,EF=AC,∴四边形ACEF是平行四边形,∴AF=CE;

(2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形;理由如下:

∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°,AC=AB=AE,∴△AEC是等边三角形,∴AC=CE,

又∵四边形ACEF是平行四边形,∴四边形ACEF是菱形.

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