Question

【题目】如图1，矩形ABCD中，AB=8，AD=6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作EF⊥CE交AB边于点F，以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H．

（1）①如图2，当点F与点B重合时，CE=　　，CG=　　；

②如图3，当点E是BD中点时，CE=　　，CG=　　；

（2）在图1，连接BG，当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想△EBG的形状？并加以证明；

（3）在图1，的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由；

（4）在图1，设DE的长为x，矩形CEFG的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）， ，5， ；（2）△EBG是直角三角形，理由详见解析；（3） ；（4）S=x2﹣x+48（0≤x≤）．

【解析】

（1）①利用面积法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；②利用直角三角形斜边中线定理求出CE，再利用相似三角形的性质求出EF即可；

（2）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断；

（3）只要证明△DCE∽△BCG，即可解决问题；

（4）利用相似多边形的性质构建函数关系式即可；

（1）①如图2中，

在Rt△BAD中，BD==10，

∵S△BCD=CDBC=BDCE，

∴CE=．CG=BE=．

②如图3中，过点E作MN⊥AM交AB于N，交CD于M．

∵DE=BE，

∴CE=BD=5，

∵△CME∽△ENF，

∴，

∴CG=EF=，

（2）结论：△EBG是直角三角形．

理由：如图1中，连接BH．

在Rt△BCF中，∵FH=CH，

∴BH=FH=CH，

∵四边形EFGC是矩形，

∴EH=HG=HF=HC，

∴BH=EH=HG，

∴△EBG是直角三角形．

（3）F如图1中，∵HE=HC=HG=HB=HF，

∴C、E、F、B、G五点共圆，

∵EF=CG，

∴∠CBG=∠EBF，

∵CD∥AB，

∴∠EBF=∠CDE，

∴∠CBG=∠CDE，

∵∠DCB=∠ECG=90°，

∴∠DCE=∠BCG，

∴△DCE∽△BCG，

∴．

（4）由（3）可知：

，

∴矩形CEFG∽矩形ABCD，

∴，

∵CE2=（-x）2+）2，S矩形ABCD=48，

∴S矩形CEFG= [（-x）2+（）2].

∴矩形CEFG的面积S=x2-x+48（0≤x≤）．