题目内容
已知A1、A2、A3是抛物线y=
x2上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴,垂足为B1、B2、B3,直线A2B2交线段A1A3于点C.
(1)如图,若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1,2,3,求线段CA2的长;
(2)如图,若将抛物线y=
x2改为抛物线y=
x2-x+1,A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数,其他条件不变,求线段CA2的长;
(3)若将抛物线y=
x2改为抛物线y=ax2+bx+c,A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数,其他条件不变,请猜想线段CA2的长(用a、b、c表示,并直接写出答案).
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(1)如图,若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1,2,3,求线段CA2的长;
(2)如图,若将抛物线y=
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(3)若将抛物线y=
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(1)方法一:∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,
∴A1B1=
×12=
,A2B2=
×22=2,A3B3=
×32=
(1分)
设直线A1A3的解析式为y=kx+b.
∴
解得
∴直线A1A3的解析式为y=2x-
,
∴CB2=2×2-
=
(2分)
∴CA2=CB2-A2B2=
-2=
.(3分)
方法二:∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,
∴A1B1=
×12=
,A2B2=
×22=2,A3B3=
×32=
(1分)
由已知可得A1B1∥A3B3,
∴CB2=
(A1B1+A3B3)=
(
+
)=
(2分)
∴CA2=CB2-A2B2=
-2=
.(3分)
(2)方法一:设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1,
则A1B1=
(n-1)2-(n-1)+1,
A2B2=
n2-n+1,
A3B3=
(n+1)2-(n+1)+1(4分)
设直线A1A3的解析式为y=kx+b.
∴
(5分)
解得
,(6分)
∴直线A1A3的解析式为y=(n-1)x-
n2+
.(7分)
∴CB2=n(n-1)-
n2+
=
n2-n+
(8分)
∴CA2=CB2-A2B2=
n2-n+
-
n2+n-1=
(9分)
方法二:设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1.
则A1B1=
(n-1)2-(n-1)+1,
A2B2=
n2-n+1,
A3B3=
(n+1)2-(n+1)+1(4分)
由已知可得A1B1∥A3B3,
∴CB2=
(A1B1+A3B3)(6分)
=
[
(n-1)2-(n-1)+1+
(n+1)2-(n+1)+1](7分)
=
n2-n+
(8分)
∴CA2=CB2-A2B2=
n2-n+
-(
n2-n+1)=
.(9分)
(3)当a>0时,CA2=a;
当a<0时,CA2=-a.(12分)
∴A1B1=
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设直线A1A3的解析式为y=kx+b.
∴
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解得
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∴直线A1A3的解析式为y=2x-
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∴CB2=2×2-
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∴CA2=CB2-A2B2=
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方法二:∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,
∴A1B1=
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由已知可得A1B1∥A3B3,
∴CB2=
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∴CA2=CB2-A2B2=
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(2)方法一:设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1,
则A1B1=
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A2B2=
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A3B3=
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设直线A1A3的解析式为y=kx+b.
∴
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解得
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∴直线A1A3的解析式为y=(n-1)x-
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∴CB2=n(n-1)-
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∴CA2=CB2-A2B2=
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方法二:设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1.
则A1B1=
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A2B2=
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A3B3=
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由已知可得A1B1∥A3B3,
∴CB2=
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∴CA2=CB2-A2B2=
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(3)当a>0时,CA2=a;
当a<0时,CA2=-a.(12分)
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