Question

【题目】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：CD=BF；

（2）求证：AD⊥CF；

（3）连接AF，试判断△ACF的形状．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）△ACF为等腰三角形

【解析】

试题分析：（1）由平行可求得∠CBF=90°，再结合等腰三角形的判定和性质可求得BF=BD，可得BF=CD；

（2）结合（1）的结论，可证明△ACD≌△CBF，可得∠DCG=∠CAD，可证明∠CGD=90°，可得结论；

（3）由（2）可得CF=AD，又AB垂直平分DF，可得AD=AF，可证明CF=AF，可知△ACF为等腰三角形．

（1）证明：

∵AC∥BF，且∠ACB=90°，

∴∠CBF=90°，

又AC=BC，

∴∠DBA=45°，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=∠BEF=∠DBF=90°，

∴∠BDE=∠BFE=45°，

∴BD=BF，

又D为BC中点，

∴CD=BD，

∴CD=BF；

（2）证明：

由（1）可知CD=BF，且CA=CB，∠ACB=∠CBF=90°，

在△ACD和△CBF中

∴△ACD≌△CFB（SAS），

∴∠CAD=∠BCF，

∵∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠CDA=90°，

∴∠BCF+∠CDA=90°，

∴∠CGD=90°，

∴AD⊥CF；

（3）解：

由（2）可知△ACD≌△CBF，

∴AD=CF，

由（1）可知AB垂直平分DF，

∴AD=AF，

∴AF=CF，

∴△ACF为等腰三角形．