题目内容

已知二次函数y=x2-2mx+m2-4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),且与y轴交于点D.
(1)当点D在y轴正半轴时,是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由;
(2)当m=-1时,将函数y=x2-2mx+m2-4的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象Ω.当直线y=
1
2
x+b
与图象Ω有两个公共点时,求实数b的取值范围.
令y=0得x2-2mx+m2-4=0,解得x1=m-2,x2=m+2,
∴A(m-2,0),B(m+2,0),D(0,m2-4),
(1)∵点D在y轴正半轴,
∴m2-4>0,设存在实数m,使得△BOD为等腰三角形,则BO=OD,
即|m+2|=m2-4,
①当m+2>0时,m2-4=m+2,解得m=3或m=-2(舍去);
②当m+2<0时,m2-4+m+2=0,解得m=1或m=-2(都舍去);
③当m+2=0时,点O、B、D重合,不合题意,舍去;
综上所述,m=3.

(2)当m=-1时,y=x2+2x-3,则A(-3,0),B(1,0)顶点为(-1,-4)
因为直线y=
1
2
x+b
与图象Ω有两个公共点,
则当直线y=
1
2
x+b
过A点时b=
3
2

当直线y=
1
2
x+b
过B(1,0)时,b=-
1
2

当直线y=
1
2
x+b
与y=-x2-2x+3只有一个公共点时,b=
73
16

根据图象,可得-
1
2
<b<
3
2
或b>
73
16

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