题目内容

如图①,梯形ABCD中,∠C=90°.动点E、F同时从点B出发,点E沿折线BA-AD-DC运动到点C时停止运动,点F沿BC运动到点C时停止运动,它们运动时的速度都是1cm/s.设E、F出发ts时,△EBF的面积为ycm2.已知y与t的函数图象如图②所示,其中曲线OM为抛物线的一部分,MN、NP为线段.请根据图中的信息,解答下列问题:
(1)梯形上底的长AD=______cm,梯形ABCD的面积______cm2
(2)当点E在BA、DC上运动时,分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围);
(3)当t为何值时,△EBF与梯形ABCD的面积之比为1:2?
(1)由图可知:OM段为抛物线,此时点E、F分别在BA、BC上运动;
当E、A重合,F、C重合时,t=5s,
∴AB=BC=5cm;
MN段是线段,且平行于t轴,此时F运动到终点C,E点在线段AD上运动;
∴AD=1×2=2cm,CD=2×S△BEF÷BC=2×10÷5=4cm;
∴S梯形ABCD=
1
2
(AD+BC)•CD=
1
2
×(2+5)×4=14cm2
故填:2,14;

(2)当点E在BA上运动时,设抛物线的解析式为y=at2,把M点的坐标(5,10)代入得a=
2
5

∴y=
2
5
t2,0≤t≤5;
当点E在DC上运动时,设直线的解析式为y=kt+b,
把P(11,0),N(7,10)代入,得11k+b=0,7k+b=10,解得k=-
5
2
,b=
55
2

所以y=-
5
2
t+
55
2
,(7<t≤11)

(3)当0<t≤5时,
2
5
t2=
1
2
×14,
∴t=
70
2

当7<t≤11时,-
5
2
t+
55
2
=
1
2
×14,
∴t=8.2;
∴t=
70
2
s或8.2s时,△BEF与梯形ABCD的面积比为1:2.
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