Question

如图①，梯形ABCD中，∠C=90°．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA-AD-DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E、F出发ts时，△EBF的面积为ycm²．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）梯形上底的长AD=______cm，梯形ABCD的面积______cm²；
（2）当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围）；
（3）当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：2？

Answer 1

（1）由图可知：OM段为抛物线，此时点E、F分别在BA、BC上运动；
当E、A重合，F、C重合时，t=5s，
∴AB=BC=5cm；
MN段是线段，且平行于t轴，此时F运动到终点C，E点在线段AD上运动；
∴AD=1×2=2cm，CD=2×S_△BEF÷BC=2×10÷5=4cm；
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•CD=

1

2

×（2+5）×4=14cm²；
故填：2，14；

（2）当点E在BA上运动时，设抛物线的解析式为y=at²，把M点的坐标（5，10）代入得a=

2

5

，
∴y=

2

5

t²，0≤t≤5；
当点E在DC上运动时，设直线的解析式为y=kt+b，
把P（11，0），N（7，10）代入，得11k+b=0，7k+b=10，解得k=-

5

2

，b=

55

2

，
所以y=-

5

2

t+

55

2

，（7＜t≤11）

（3）当0＜t≤5时，

2

5

t²=

1

2

×14，
∴t=

70

2

；
当7＜t≤11时，-

5

2

t+

55

2

=

1

2

×14，
∴t=8.2；
∴t=

70

2

s或8.2s时，△BEF与梯形ABCD的面积比为1：2．