Question

【题目】已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．
（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AD

∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点

∴AD= =BD=CD

且AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD=45°

在△BDE和△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（SAS）

∴DE=DF，∠BDE=∠ADF

∵∠BDE+∠ADE=90°

∴∠ADF+∠ADE=90°

即：∠EDF=90°

∴△EDF为等腰直角三角形

（2）解：解：仍为等腰直角三角形．

理由：∵△AFD≌△BED

∴DF=DE，∠ADF=∠BDE

∵∠ADF+∠FDB=90°

∴∠BDE+∠FDB=90°

即：∠EDF=90°

∴△EDF为等腰直角三角形

【解析】1）题要通过构建全等三角形来求解．连接AD，可通过证△ADF和△BDE全等来求本题的结论．（2）与（1）题的思路和解法一样．
【考点精析】关于本题考查的等腰直角三角形和直角三角形斜边上的中线，需要了解等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半才能得出正确答案．