题目内容
如图,点P是半径为6的⊙O外一点,过点P作⊙O的割线PAB,点C是⊙O上一点,且PC2=PA•PB.求证:
(1)PC是⊙O的切线;
(2)若sin∠ACB=
,求弦AB的长;
(3)已知在(2)的条件下,点D是劣弧AB的中点,连接CD交AB于E,若AC:BC=1:3,求CE的长.
(1)PC是⊙O的切线;
(2)若sin∠ACB=
| ||
3 |
(3)已知在(2)的条件下,点D是劣弧AB的中点,连接CD交AB于E,若AC:BC=1:3,求CE的长.
(1)证明:连接CO并延长交⊙O于M,连接AM,
∵PC2=PA•PB,
∴
=
.
∵∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB,∠PCA=∠B.
∵∠B=∠M,
∴∠M=∠PCA.
∵CM是直径,
∴∠MAC=90°.
∴∠ACM+∠M=90°.
∴∠ACM+∠PCA=90°.
即∠PCM=90°.
∴CM⊥PC.
∴PC是⊙O的切线.
(2)连接AO,并延长AO交⊙O于N,连接BN,
∵AN是直径,
∴∠ABN=90°∠N=∠ACB,AN=12.
在Rt△ABN中,AB=ANsin∠ACB=12sin∠ACB=12×
=4
.
(3)连接OD交AB于F,
∴OD⊥AB.
∵D是劣弧AB的中点,
∴∠ACD=∠BCD.
∵∠PCA=∠B,
∴∠PCE=∠PEC.
∴PC=PE由△PCA∽△PBC得PC=3PA.
∵PC2=PA•PB,
∴9PA2=PA•PB.
∴9PA=PB=PA+AB.
∴8PA=AB=4
.
∴PA=
.
∴PC=PE=
.
AE=
,AB=4
,AF=2
,EF=
在Rt△OAF中,可求得OF=4,
∴DF=OD-OF=6-4=2,
∴DE=3.
∵AE•EB=DE•CE,
∴CE=5.
∵PC2=PA•PB,
∴
PC |
PA |
PB |
PC |
∵∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB,∠PCA=∠B.
∵∠B=∠M,
∴∠M=∠PCA.
∵CM是直径,
∴∠MAC=90°.
∴∠ACM+∠M=90°.
∴∠ACM+∠PCA=90°.
即∠PCM=90°.
∴CM⊥PC.
∴PC是⊙O的切线.
(2)连接AO,并延长AO交⊙O于N,连接BN,
∵AN是直径,
∴∠ABN=90°∠N=∠ACB,AN=12.
在Rt△ABN中,AB=ANsin∠ACB=12sin∠ACB=12×
| ||
3 |
5 |
(3)连接OD交AB于F,
∴OD⊥AB.
∵D是劣弧AB的中点,
∴∠ACD=∠BCD.
∵∠PCA=∠B,
∴∠PCE=∠PEC.
∴PC=PE由△PCA∽△PBC得PC=3PA.
∵PC2=PA•PB,
∴9PA2=PA•PB.
∴9PA=PB=PA+AB.
∴8PA=AB=4
5 |
∴PA=
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2 |
∴PC=PE=
3
| ||
2 |
AE=
5 |
5 |
5 |
5 |
在Rt△OAF中,可求得OF=4,
∴DF=OD-OF=6-4=2,
∴DE=3.
∵AE•EB=DE•CE,
∴CE=5.
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