题目内容
【题目】如图(1),P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.
(1)如果点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°.
①求证:△ABP∽△BCP;
②若PA=3,PC=4,则PB= .
(2)已知锐角△ABC,分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD 相交于P点.如图(2)
①求∠CPD的度数;
②求证:P点为△ABC的费马点.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】
试题分析:(1)①根据题意,利用内角和定理及等式性质得到一对角相等,利用两角相等的三角形相似即可得证;
②由三角形ABP与三角形BCP相似,得比例,将PA与PC的长代入求出PB的长即可;
(2)①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形,利用等边三角形的性质得到两对边相等,两个角为60°,利用等式的性质得到夹角相等,利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等,利用全等三角形的对应角相等得到∠1=∠2,再由对顶角相等,得到∠5=∠6,即可求出所求角度数;
②由三角形ADF与三角形CPF相似,得到比例式,变形得到积的恒等式,再由对顶角相等,利用两边成比例,且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似,利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°,由∠APD+∠DPC,求出∠APC为120°,进而确定出∠APB与∠BPC都为120°,即可得证.
试题解析:(1)证明:①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°,∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°,
∴∠PAB=∠PBC,
又∵∠APB=∠BPC=120°,
∴△ABP∽△BCP,
②解:∵△ABP∽△BCP,
∴,
∴PB2=PAPC=12,
∴PB=2;
(2)解:①∵△ABE与△ACD都为等边三角形,
∴∠BAE=∠CAD=60°,AE=AB,AC=AD,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,
在△ACE和△ABD中,
,
∴△ACE≌△ABD(SAS),
∴∠1=∠2,
∵∠3=∠4,
∴∠CPD=∠6=∠5=60°;
②证明:∵△ADF∽△CFP,
∴AFPF=DFCF,
∵∠AFP=∠CFD,
∴△AFP∽△CDF.
∴∠APF=∠ACD=60°,
∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°,
∴∠BPC=120°,
∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°,
∴P点为△ABC的费马点.
【题目】某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛,甲、乙两所学校参赛人数相等,比赛结束后,发现学生成绩分别为70分、80分、90分、100分,并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表:
乙校成绩统计表
分数/分 | 人数/人 |
70 | 7 |
80 | |
90 | 1 |
100 | 8 |
(1)在图①中,“80分”所在扇形的圆心角度数为________;
(2)请你将图②补充完整;
(3)求乙校成绩的平均分;
(4)经计算知s甲2=135,s乙2=175,请你根据这两个数据,对甲、乙两校成绩作出合理评价.
【题目】为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛,A.B两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件的测试,他俩各加工的10个零件的相关数据依次如下图表所示(单位:mm)
平均数 | 方差 | 完全符合要求个数 | |
A | 20 | 0.026 | 2 |
B | 20 | SB2 |
根据测试得到的有关数据,试解答下列问题:
⑴ 考虑平均数与完全符合要求的个数,你认为 的成绩好些;
⑵ 计算出SB2的大小,考虑平均数与方差,说明谁的成绩好些;
⑶ 考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况,你认为派谁去参赛较合适?说明你的理由。
【题目】2015年3月3日到3月15日,两会在京矩形,雾霾防治问题受到国民的普遍关注,某报社决定以“对于雾霾,你最关注的话题是什么”为主题,通过街头随访和网络调查两种方式进行调查,根据调查所得数据绘制了表格.
最关注的话题 | 街头随访/人 | 网络调查/人 | 合计/人 |
雾霾是什么 | 120 | 200 | |
雾霾治理 | 40%a | 60%a | a |
雾霾中自我防护策略 | 600 | ||
其他话题 | 60 |
(1)参加本次街头随访和网络调查的总人数是多少人,a的值为多少;
(2)请你将以上表格中空白处补充完整;
(3)若在接受街头随访的人员中随机抽出一人,则抽到最关注“雾霾中自我防护策略”人员的概率是 多少? ;