题目内容

【题目】如图(1),P为ABC所在平面上一点,且APB=BPC=CPA=120°,则点P叫做ABC的费马点.

(1)如果点P为锐角ABC的费马点,且ABC=60°.

①求证:ABP∽△BCP;

②若PA=3,PC=4,则PB=

(2)已知锐角ABC,分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD,CE和BD 相交于P点.如图(2)

①求CPD的度数;

②求证:P点为ABC的费马点.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

试题分析:(1)①根据题意,利用内角和定理及等式性质得到一对角相等,利用两角相等的三角形相似即可得证;

②由三角形ABP与三角形BCP相似,得比例,将PA与PC的长代入求出PB的长即可;

(2)①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形,利用等边三角形的性质得到两对边相等,两个角为60°,利用等式的性质得到夹角相等,利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等,利用全等三角形的对应角相等得到1=2,再由对顶角相等,得到5=6,即可求出所求角度数;

②由三角形ADF与三角形CPF相似,得到比例式,变形得到积的恒等式,再由对顶角相等,利用两边成比例,且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似,利用相似三角形对应角相等得到APF为60°,由APD+DPC,求出APC为120°,进而确定出APB与BPC都为120°,即可得证.

试题解析:(1)证明:①∵∠PAB+PBA=180°﹣APB=60°,PBC+PBA=ABC=60°,

∴∠PAB=PBC,

∵∠APB=BPC=120°,

∴△ABP∽△BCP,

②解:∵△ABP∽△BCP,

PB2=PAPC=12,

PB=2

(2)解:①∵△ABE与ACD都为等边三角形,

∴∠BAE=CAD=60°,AE=AB,AC=AD,

∴∠BAE+BAC=CAD+BAC,即EAC=BAD,

ACE和ABD中,

∴△ACE≌△ABD(SAS),

∴∠1=2,

∵∠3=4,

∴∠CPD=6=5=60°;

②证明:∵△ADF∽△CFP,

AFPF=DFCF,

∵∠AFP=CFD,

∴△AFP∽△CDF.

∴∠APF=ACD=60°,

∴∠APC=CPD+APF=120°,

∴∠BPC=120°,

∴∠APB=360°﹣BPC﹣APC=120°,

P点为ABC的费马点.

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