题目内容

如图，在平面直角坐标系中，将直线y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B（-3，0）及y轴上的C点．若抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），且经过点C，其对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，若∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形EFOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．
（1）∵y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后经过y轴上的点C，
∴此时直线的解析式为y=kx-3，令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=kx-3．
∵B（-3，0）在直线BC上，
∴-3k-3=0解得k=-1．
∴直线BC的解析式为y=-x-3．
∵抛物线y=-x2+bx+c过点B，C，
∴
-9-3b+c=0
c=-3
，
解得
b=-4
c=-3
，
∴抛物线的解析式为y=-x2-4x-3；

（2）由y=-x2-4x-3．可得D（-2，1），A（-1，0）．
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
可得△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OBC=45°，CB=3
2
．
设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF=
1
2
AB=1．
连接AE，
∵∠AEF=∠BEF=45°，
∴∠AEB=90°．
可得BE=AE=
2
，CE=2
2
，
在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴
AE
AF
=
CE
PF
，
2
1
=
2
2
PF
，解得，PF=2，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（-2，-2），（-2，2）．

（3）存在．
∵D（-2，1），C（0，-3），直线BC的解析式为y=-x-3，
∴F（-2，0），E（-2，-1），
∴S梯形EFOC=
1
2
（EF+OC）•OF=
1
2
×（1+3）×2=4，
∵当直线CM过点F时，S△OCF=
1
2
OC•OF=
1
2
×3×2=3＞
1
2
S梯形EFOC=2，
∴直线必过线段OF，设直线CM与线段OF相较于点G（x，0），则S△OCG=
1
2
OC•OG=
1
2
×3×
（-x）=2，解得x=-
4
3
，
∴G（-
4
3
，0），
设直线CM的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵C（0，-3），G（-
4
3
，0）在直线CM上，
∴
b=-3
-
4
3
k+b=0
，解得
b=-3
k=-
9
4
，
∴直线CM的解析式为y=-
9
4
x-3．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知点A（8，0），sin∠ABO=
4
5
，抛物线经过点O、A，且顶点在△AOB的外接圆上，则此抛物线的解析式为（　　）
A．y=-
1
2
x2+4x		B．y=-
1
8
x2+x
C．y=
1
2
x2-4x或y=-
1
8
x2+x		D．y=-
1
2
x2+4x或y=
1
8
x2-x
如图是一座抛物线型拱桥，以桥基AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系．已知桥基AB的跨度为60米，如果水位从AB处上升5米，就达到警戒线CD处，此时水面CD的宽为30
2
米，求抛物线的函数解析式．
已知二次函数y=mx2+（m-3）x-3（m＞0）的图象如图所示．
（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积；
（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=-x2+bx+3的图象经过点A（-1，0），顶点为P．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）顶点P的坐标为______；此抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为______；
（3）若抛物线与y轴交于C点，求△ABC的面积；
（4）在x轴上方的抛物线上是否存在一点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请直接写出点D的坐标．
如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）
如图，在直角坐标系中，y轴是边长为2的等边△BAD的对称轴，x轴是等腰△BDC的对称轴．
（1）试求出经过点A、点B，且对称轴为直线x=1的抛物线的解析式；
（2）把△BDC沿着直线BD翻折后，得到△BDC'．
①问点C'是否在（1）中的抛物线上？
②设BC'交直线x=1于点Q．若点P是（1）中的抛物线上的一个动点，过点P作PT⊥直线x=1，垂足为T，问：在抛物线上是否存在着点P，使得以P、T、Q为顶点的三角形与△QDC'相似？若存在，写出所有符合上述条件的点P的横坐标；若不存在，试说明理由．
如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）
（1）当x取何值时，该抛物线取最大值？该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①当t=
11
4
时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．
如图，用长20m的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？

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