Question

23、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）除了正方形外，写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：

矩形、直角梯形

；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB，并写出点M的坐标；
（3）如图2，以△ABC的边AB，AC为边，向三角形外作正方形ABDE及ACFG，连接CE，BG相交于O点，P是线段DE上任意一点．求证：四边形OBPE是勾股四边形．

Answer 1

分析：（1）根据一些特殊四边形的性质即可找出符合性质的；
（2）根据题中的要求和勾股定理的性质求出点M的坐标；
（3）连接BE，首先证明△AEC≌△ABG，则∠AEC=∠ABG，∵∠AEC+∠CEB+∠EBA=90°，∴∠ABG+∠CEB+∠EBA=90°，∴OB²+OE²=BE²，然后证明OB²+OE²=BE²即可．

解答：解：（1）矩形、直角梯形；（2分）

（2）如图，M点的坐标是（3，4）或（4，3）；（2分）

（3）连接BE（如图）
∵四边形ABDE和ACFG是正方形
∴AE=AB、AC=AG、∠EAB=∠CAG=90°
∴∠EAC=∠BAG
∴△AEC≌△ABG
∴∠AEC=∠ABG（1分）
∵∠AEC+∠CEB+∠EBA=90°
∴∠ABG+∠CEB+∠EBA=90°
∴∠BOE=90°（2分）
∴OB²+OE²=BE²
即四边形OBPE是勾股四边形．（1分）

点评：本题主要考查对于勾股定理的应用以及全等三角形的性质．