题目内容

24、我们给出如下定义:若一个四边形的两条对角线相等,则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题:
(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称;
(2)探究:当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时,这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系,并证明你的结论.
分析:(1)等腰梯形、矩形、正方形,任选两个即可;
(2)等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时,这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长.分两种情况证明:当BC与CE不在同一条直线上时,60°角所对的两边之和大于其中一条对角线的长;当BC与CE在同一条直线上时60°角所对的两边之和等于其中一条对角线的长.
解答:解:(1)等腰梯形、矩形、正方形.
(2)结论:等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时,这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长.
已知:四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=BD,
且∠AOD=60度.
求证:BC+AD≥AC.
证明:过点D作DF∥AC,在DF上截取DE,使DE=AC.
连接CE,BE.
故∠EDO=60°,四边形ACED是平行四边形.
所以△BDE是等边三角形,CE=AD.
所以DE=BE=AC.
①当BC与CE不在同一条直线上时(如图1),
在△BCE中,有BC+CE>BE.
所以BC+AD>AC.
②当BC与CE在同一条直线上时(如图2),
则BC+CE=BE.
因此BC+AD=AC
综合①、②,得BC+AD≥AC.
即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60°时,这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长.
点评:本题综合考查了平行四边形的判定和三角形的有关知识,解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍,运用发散思维,多方思考,探究问题在不同条件下的不同结论,挖掘它的内在联系.
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