Question

如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是DC上一点，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
（1）指出旋转的中心和旋转的角度；
（2）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？请说明理由．
（3）已知点G在BC上，且∠GAE=45°．
①试说明GE=DE+BG．
②若E是DC的中点，求BG的长．

Answer 1

（1）旋转的中心是点A，旋转的角度是90°．

（2）△AEF是等腰直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°．
∵△ADE绕着点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE=AF．
又∵∠EAF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．

（3）①∵∠GAE=45°，∠EAF=90°，
∴AG是∠EAF的平分线，
又∵AF=AE，
∴AG是线段EF的垂直平分线，
∴GE=GF．
∵DE=BF，
∴DE+GB=BF+BG=GF．
∴GE=DE+BG．
②∵E是DC的中点，
∴DE=EC=FB=1．
设GB=x，则GC=2-x，GE=1+x．
在Rt△ECG中，∠C=90°，由勾股定理，得
1+（2-x）²=（1+x）²．
解这个方程，得x=

2

3

，即BG的长为

2

3

．
（注：用其它方法求解参照以上标准给分．）