题目内容

在直角坐标系中,正方形ABCD上点B的坐标为(0,2),点C的坐标为(2,1),则点D的坐标为______;若以C为中心,把正方形ABCD按顺时针旋转180°后,点A的对应点为A1,则A1的坐标为______;再以A1为中心,把正方形ABCD按顺时针旋转180°后,得到点C的对应点C1,若重复以上操作,则点A5的坐标为______.
设A点坐标为(a,b),点D的坐标为(c,d),
∵正方形ABCD上点B的坐标为(0,2),点C的坐标为(2,1),
∴正方形ABCD的边长为
(0-2)2+(2-1)2
=
5
,对角线AC=
10

(c-0)2+(d-2)2=(
10
)
2
(c-2)2+(d-1)2=(
5
)
2
,解得:c=3,d=-3;
(b-2)2+a2=(
5
)
2
(a-2)2+(b-1)2=(
10
)
2
,解得:a=1,b=4.
故AC所在直线方程为:y=-3x+7,点D的坐标为(3,3).
(1)若以C为中心,把正方形ABCD按顺时针旋转180°后,点A的对应点为A1
则A1C=
10
,设A1点坐标为(x,y),则(x-2)2+(-3x+7-1)2=(
10
2,解得:x=3,x=1(舍去),
∴y=-3×3+7=-2,
∴点A1的坐标为(3,-2);

(2)再以A1为中心,把正方形ABCD按顺时针旋转180°后,得到点C的对应点C1,若重复以上操作,则点C,A1,C1,A2,C2,A3,C3,A4,C4,A5都在AC所在的直线方程上,A5C=9
10

设A5的坐标为(u,v),则(u-2)2+(-3u+7-1)2=(9
10
2,解得:u=11,u=-7(舍去),
∴v=-3×11+7=-26,
∴点A5的坐标为(11,-26).
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