题目内容
如图所示,一根长2a的木棍(AB),斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行.(1)请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否变化,并简述理由.
(2)在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,△AOB的面积最大?简述理由,并求出面积的最大值.
分析:(1)木棍滑动的过程中,点P到点O的距离不会变化.根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半即可判断;
(2)当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时,△AOB的面积最大,就可以求出.
(2)当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时,△AOB的面积最大,就可以求出.
解答:解:(1)不变.
理由:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,
∵斜边AB不变,
∴斜边上的中线OP不变;
(2)当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时,△AOB为等腰直角三角形时,面积最大,
理由为:
证明:如图,若h与OP不相等,则总有h<OP,
故根据三角形面积公式,有h与OP相等时,△AOB的面积最大,
此时,S△AOB=
AB•h=
×2a•a=a2.
∴△AOB的最大面积为a2.
理由:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,
∵斜边AB不变,
∴斜边上的中线OP不变;
(2)当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时,△AOB为等腰直角三角形时,面积最大,
理由为:
证明:如图,若h与OP不相等,则总有h<OP,
故根据三角形面积公式,有h与OP相等时,△AOB的面积最大,
此时,S△AOB=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴△AOB的最大面积为a2.
点评:此题利用了在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半;同时理解△AOB的面积什么情况最大是解决本题的关键.
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