Question

如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P。若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行。

（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由。

（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值。

Answer 1

（1）不变。理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变。

（2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大。

如图，若h与OP不相等，

则总有h<OP。

故根据三角形面积公式，

有h与OP相等时△AOB的面积最大

此时，S_△AOB=.

所以△AOB的最大面积为。