题目内容
【题目】如图①，在△ABC中，AB=AC，D是射线BC上一点(点D不与点B重合)，连结AD，将AD绕着点D逆时针旋转∠BAC的度数得到AE，连结DE、CE.
（1）当点D在边BC上，求证：△BAD≌△CAE.
（2）当点D在边BC上，若∠BAC=a，求∠DCE的大小．(用含a的代数式表示).
（3）当DE与△ABC的边所在的直线垂直，且∠BAC=40°时，请借助图②，直接写出∠CED的大小.
【答案】(1)详见解析;(2) ∠DCE=180°-a;(3) 20°或50°;
【解析】
（1）由旋转及角的和差可得∠BAD=∠CAE，结合AD=AE，AB=AC，由SAS可证△BAD≌△CAE；
（2）由等腰三角形知∠ABC=∠ACB=
(180°-a)，根据全等知∠ABD=∠ACE= (180°-a)，由∠DCE=∠ACB+∠ACE可得答案；
（3）分点D在线段BC和线段BC的延长线上两种情况讨论即可.
（1）由旋转，得∠DAE=∠BAC，AD=AE，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC
∴∠BAD=∠CAE
∵AB=AC
∴△BAD≌△CAE(SAS)；
（2）∵∠BAC=α，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB= (180°-a)，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠B=(180°-a)，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=180°-a；
（3）①当点D在线段BC 上时，如图所示：
此时DE⊥AC，则∠CFE=90°，连接CE，
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABC=70°，
∴∠CED=90°-∠ACE=90°-70° =20°；
②当点D在线段BC延长线上时，如图所示：
此时DE⊥BC，则∠EDB=90°，连接CE，
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABC=70°，
∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=180°-70°-70° =40°；
∴∠CED=90°-∠ECD=90°-40°=50°；
故∠CED为20°或50°.
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