题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣
x2+
x+
与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC．当△PBC的面积最大时，在线段BC上找一点E（不与B、C重合），使PE+
BE的值最小，求点P的坐标和PE+BE的最小值；
（3）如图3，点G是线段CB的中点，将抛物线y=﹣x2+x+沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为F．在抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线BC的解析式为y=﹣
x+
；（2）P（
，
），PE+
BE＝
；（3）存在，Q（﹣1，
）或（﹣1，
），理由见解析
【解析】
（1）根据二次函数的解析式先求出点C、点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线BC的解析式；
（2）如图2中，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点F，过点E作EN⊥x轴于点N，设P（a，﹣a2+a+），则F（a，﹣a+）则可得 PF=﹣a2+a，继而得S△PBC=﹣
a2+
a，根据二次函数的性质可得当a=时，S△PBC最大，可得点P坐标，由直线BC的解析式为y=﹣x+可得∠CBO=30°，继而可得PE+BE=PE+EN，根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P，E，N三点共线且垂直于x轴时，PE+BE值最小，据此即可求得答案；
（3）由题意可得D（1，0），G（，），继而可得直线DG解析式，根据抛物线y=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+
沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，可得y'═﹣（x+1）2+，从而可得对称轴为x=﹣1，然后分∠QDG=90°或∠QGD=90°，∠GQD=90°三种情况进行讨论即可得.
（1）当x=0时，y=﹣x2+x+=，
∴点C的坐标为（0，）；
当y=0时，有﹣x2+x+=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将B（3，0）、C（0，）代入y=kx+b，得：
，解得：
，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+；
（2）如图2中，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点F，过点E作EN⊥x轴于点N，
设P（a，﹣a2+a+），则F（a，﹣a+），
∴PF=﹣a2+a，
∴S△PBC=×PF×3=﹣a2+a，
∴当a=时，S△PBC最大，
∴P（，），
∵直线BC的解析式为y=﹣x+，
∴∠CBO=30°，EN⊥x轴，
∴EN=BE，
∴PE+BE=PE+EN，
∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P，E，N三点共线且垂直于x轴时，PE+BE值最小，
∴PE+BE=PE+EN=PN=；
（3）∵D是对称轴直线x=1与x轴的交点，G是BC的中点，
∴D（1，0），G（，），
∴直线DG解析式y=x﹣，
∵抛物线y=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，
∴y'═﹣（x+1）2+，
∴对称轴为x=﹣1，
∵△FGQ为直角三角形，
∴∠QDG=90°或∠QGD=90°，∠GQD=90°（不合题意，舍去），
当∠QDG=90°，设直线QD解析式y=﹣x+b，过D（1，0），
∴0=﹣+b，
b=，
∴y=﹣x+，
当x=﹣1时，y=，
∴Q（﹣1，），
当∠QGD=90°，则直线QD解析式y=﹣x+，
∴当x=﹣1时，y=，
∴Q（﹣1，）.
