题目内容
【题目】已知:直线MN,PQ被射线BA截于A,B两点,且MN∥PQ,点D是直线MN上一定点,C是射线BA上一动点,连结CD,过点C作CE⊥CD交直线PQ于点E.
(1)若点C在线段AB上.
①依题意,补全图形;
②请写出∠ADC和∠CEB的数量关系,并证明.
(2)若点C在线段BA的延长线上,直接写出∠ADC和∠CEB的数量关系,不必证明.
【答案】(1)①见解析;②∠ADC和∠CEB的数量关系:∠ADC+∠CEB=90°;证明见解析;(2)∠ADC+∠CEB=90°或∠CEB-∠ADC=90或∠ADC-∠CEB=90°
【解析】
(1)①连接CD,作CE⊥CD,交PQ于E即可;
②根据两直线平行,内错角相等可知∠DCH=∠ADC,∠ECH=∠CEB,由∠DCH+∠ECH=90°,可知∠ADC+∠CEB=90°;
(2)利用平行线的性质,三角形外角的性质,平角的定义列式即可求得.
(1)①补全图形,如图.
②∠ADC和∠CEB的数量关系:∠ADC+∠CEB=90°.
证明:如图1,过点C作CH∥MN.
∴∠DCH=∠ADC,∠ECH=∠CEB.
∵CD⊥CE,
∴∠DCE=90°,即∠DCH+∠ECH=90°.
∴∠ADC+∠CEB=90°.
(2)如图2①,
∵CE⊥CD,
∴∠1+∠ADC=90°,
∵MN∥PQ,
∴∠1=∠CEB,
∴∠ADC+∠CEB=90°;
如图2②,
∵CE⊥CD,
∴∠1+∠ADC=90°,
∵MN∥PQ,
∴∠1=∠2,
∵∠2+∠CEB=180°,
∴90°-∠ADC+∠CEB=180°,
∴∠CEB-∠ADC=90°;
如图2③,
∵CE⊥CD,
∴∠ECD=90°,
∵MN∥PQ,
∴∠1=∠CEB,
∵∠ADC=∠ECD+∠1,
∴∠ADC=90°+∠CEB
∴∠ADC-∠CEB=90°;
综上,∠ADC和∠CEB的数量关系为:∠ADC+∠CEB=90°或∠CEB-∠ADC=90°或∠ADC-∠CEB=90°.

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【题目】中学初三(1)班共有40名同学,在一次30秒跳绳测试中他们的成绩统计如下表:
跳绳数/个 | 81 | 85 | 90 | 93 | 95 | 98 | 100 |
人 数 | 1 | 2 | 8 | 11 | 5 |
将这些数据按组距5(个)分组,绘制成如图的频数分布直方图(不完整).
(1)将表中空缺的数据填写完整,并补全频数分布直方图;
(2)这个班同学这次跳绳成绩的众数是 个,中位数是 个;
(3)若跳满90个可得满分,学校初三年级共有720人,试估计该中学初三年级还有多少人跳绳不能得满分.