Question

【题目】数学活动

(1)情境观察

将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图23-1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A(A′)按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图23-2所示．

观察图23-2可知：与BC相等的线段是 ，∠CAC′= 度．

(2)问题探究

如图23-3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

(3)拓展延伸

如图23-4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=k·AE，AC=k·AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）DA，90；（2）FQ=EP；证明如下；（3）HE=HF，理由如下.

【解析】解：（1）如图2，由旋转的性质可知，△ABC≌△A′C′D，

∴BC=A′D，∠ACB=∠C′AD，又∠ACB+∠CAB=90°，

∴∠C′AD+∠CAB=90°，即∠CAC′=90°，

故答案为：A′D；=90°；

（2）EP=FQ，

证明：∵△ABE是等腰直角三角形，

∴∠EAB=90°，即∠EAP+∠BAG=90°，又∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠EAP=∠ABG，

在△APE和△BGA中，

，

∴△APE≌△BGA，

∴EP=AG，

同理，FQ=AG，

∴EP=FQ；

（3）HE=HF，

证明：作EP⊥GA交GA的延长线于P，作FQ⊥GA交GA的延长线于Q，

∵四边形ABME是矩形，

∴∠EAB=90°，即∠EAP+∠BAG=90°，又∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠EAP=∠ABG，又∠APE=∠BGA=90°，

∴△APE∽△BGA，

∴=，即AG=kEP，

同理△AQF∽△CGA，

∴=k，即AG=kFQ，

∴EP=FQ，

∵EP⊥GA，FQ⊥GA，

∴EP∥FQ，又EP=FQ，

∴HE=HF．