Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=48，点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）求证：AE=DF；
（2）当四边形BFDE是矩形时，求t的值；
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：证明：在Rt△CDF中，∠C=30°

∴DF= CD，

∴DF= 4t=2，

又∵AE=2t，

∴AE=DF．

（2）

解：当四边形BFDE是矩形时，有BE=DF，

∵Rt△ABC中，∠C=30°

∴AB= AC= ×48=24，

∴BE=AB﹣AE=24﹣2t，

∴24﹣2t=2t，

∴t=6．

（3）

解：∵∠B=90°，DF⊥BC

∴AE∥DF，∵AE=DF，

∴四边形AEFD是平行四边形，

由（1）知：四边形AEFD是平行四边形

则当AE=AD时，四边形AEFD是菱形

∴2t=48﹣4t，

解得t=8，又∵t≤ = =12，

∴t=8适合题意，

故当t=8s时，四边形AEFD是菱形．

【解析】（1）由∠DFC=90°，∠C=30°，证出DF=2t=AE；（2）当四边形BEDF是矩形时，△DEF为直角三角形且∠EDF=90°，求出t的值即可；（3）先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=3，AD=AC﹣DC=48﹣4t，若△DEF为等边三角形，则四边形AEFD为菱形，得出AE=AD，2t=48﹣4t，求出t的值即可；