题目内容
【题目】已知:如图,抛物线y=﹣x2+bx+C经过点B(0,3)和点A(3,0)
(1)求该抛物线的函数表达式和直线AB的函数表达式;
(2)若直线l⊥x轴,在第一象限内与抛物线交于点M,与直线AB交于点N,请在备用图上画出符合题意的图形,并求点M与点N之间的距离的最大值或最小值,以及此时点M,N的坐标.
【答案】(1) 抛物线的函数表达式是y=﹣x2+2x+3;直线AB的函数表达式是y=﹣x+3;(2) 点M与点N之间的距离有最大值;点M坐标为(
,
)点N的坐标为(
,
).
【解析】整体分析:
(1)把点B(0,3)和点A(3,0)代入到y=-x2+bx+c和一次函数的一般式中求解;(2)设直线l的横坐标为a,分别用a表示出点M,N的坐标,然后用a表示出MN的长,用配方法即可求出MN的最大值.
解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点B(0,3)和点A(3,0),
解得
抛物线的函数表达式是y=-x2+2x+3;
设直线AB:y=kx+m,根据题意得,解得
,
直线AB的函数表达式是y=-x+3;
(2)如图,设直线l的横坐标为a,
则点M的坐标为(a,-a2+2a+3),点N的坐标是(a,-a+3),
又点M,N在第一象限,
∴|MN|=-a2+2a+3-(-a+3)=-a2+3a,
又|MN|=-a2+3a=-(a2-3a+)+
=
,
当a= 时,|MN|有最大值,最大值为
,
即点M与点N之间的距离有最大值,
此时点M坐标为(,
),点N的坐标为
.
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