题目内容

【题目】如图在平面直角坐标系中,四边形是菱形,点的坐标为,平行于对角线的直线从原点出发,沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线与菱形的两边分别交于点,直线运动的时间为(秒).

1)求点的坐标;

2)当时,求的值;

3)设的面积为,求的函数表达式,并确定的最大值.

【答案】1

2t=;

3)S= ,当t=5时,S最大值=10.

【解析】

1)过点CCHOAH,由勾股定理求出OC,得出CB,即可得出结果;

2)分两种情况:①当0t5时,由菱形的性质得出OA=AB=BC=OC=5OCAB,再由平行线得出△OMN∽△OAC,得出比例式求出OM即可;

②当5t10时,设直线MNOA交于点E.,同①可得AM= ,再证出△AEM∽△OAC.得出对应边成比例求出AM=AE,得出OE即可;

3)分两种情况①当0t5时,求出△OAC的面积,再由相似三角形的性质得出 ,即可得出结果;

②当5t10时,过点MMTx轴于T,由△BMN∽△AME可知,MT=t-5),得出SOMN=SONE-SOME=-t-52+10,即可得出结果.

解:(1)过点,如图1所示:

四边形是菱形,

的坐标为

2)分两种情况:

时,如图2所示:

∵四边形是菱形,

.

.

.

②当5≤t≤10时,如图3所示:

设直线MNOA交于点E.,同①可得AM=

OCABMNAC

∴∠COA=MAE,∠CAO=MEA

∴△AEM∽△OAC

,

OC=OA

AM=AE

OE=OA+AE=

t=.

综上所述:

t=t=

3)分两种情况:

①当0≤t5时(如图1),

SOAC=OACH=10

∵△OMN∽△OAC

,即

S=t20≤t5);

②当5≤t≤10时,过点MMTx轴于T,如图4所示:

由△BMN∽△AME可知,MT=t-5),

SOMN=SONE-SOME=-t52+10

综上所述:S=

∴当t=5时,S最大值=10

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