Question

已知：关于x的二次函数y=-x²+（m+2）x-m．
（1）求证：不论m为任何实数，二次函数的图象的顶点P总是在x轴的上方；
（2）设二次函数图象与y轴交于A，过点A作x轴的平行线与图象交于另外一点B．若顶点P在第一象限，当m为何值时，△PAB是等边三角形．

Answer 1

分析：（1）只要求出顶点的纵坐标为正，就能确定顶点P总是在x轴的上方，根据顶点的纵坐标公式求解；
（2）根据图形可以看出，对称轴把等边三角形分成两个全等的30°的直角三角形，根据点的坐标与线段的关系可以求解．

解答：（1）证明：二次函数y=-x²+（m+2）x-m中，a=-1，b=m+2，c=-m，
∴顶点P的纵坐标为

4ac-b2

4a

=

4m-(m+2)2

4×(-1)

=

m2+4

4

＞0，
∴顶点P总在x轴上方；

（2）解：二次函数y=-x²+（m+2）x-m与y轴交于点A（0，-m），
顶点P（

m+2

2

，

m2+4

4

），
过P作PC⊥AB于C，则C（

m+2

2

，-m），
因为点P在第一象限，所以

m+2

2

＞0，
AC=

m+2

2

，PC=

m2+4

4

+m，
∵△PAB是等边三角形，
∴∠PAC=60°，
由tan∠PAC=

PC

AC

得

m2+4

4

+m=

3

（

m+2

2

），
整理得：（m+2）²=2

3

（m+2），
∴m+2=2

3

∴m=2

3

-2，
即m=2

3

-2时，△PAB是等边三角形．

点评：解答此题的关键是求出对称轴，顶点纵坐标，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法．