Question

已知抛物线y=（m-1）x²-2mx+m+1（m＞1）．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2，求m的值；
（3）若一次函数y=kx-k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,根的判别式,待定系数法求一次函数解析式

专题：

分析：（1）令y=0，则（m-1）x²-2mx+m+1=0，利用求根公式可以求得方程的解，即该抛物线与x轴交点横坐标；
（2）利用两点间距离公式列出关于m的方程，通过解方程来求m的值；
（3）依题意得到：方程kx-k=（m-1）x²-2mx+m+1有两个相等的实数根．根据根的判别式的符号求解．

解答：解：（1）令y=0，则（m-1）x²-2mx+m+1=0．
∵△=（-2m）²-4（m-1）（m+1）=4，
解方程，得x=

2m±2

2(m-1)

．
∴x₁=1，x2=

m+1

m-1

．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（

m+1

m-1

，0）；

（2）∵m＞1，∴

m+1

m-1

＞1．
由题意可知，

m+1

m-1

-1=2．
解得，m=2．
经检验m=2是方程的解且符合题意．
∴m=2；

（3）∵一次函数y=kx-k的图象与抛物线始终只有一个公共点，
∴方程kx-k=（m-1）x²-2mx+m+1有两个相等的实数根．
整理该方程，得（m-1）x²-（2m+k）x+m+1+k=0，
∴△=（2m+k）²-4（m-1）（m+1+k）=k²+4k+4=（k+2）²=0，
解得k₁=k₂=-2．
∴一次函数的解析式为y=-2x+2．

点评：本题考查了抛物线与x轴交点、根的判别式等知识点．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．