Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足(a+2)2+

b-2

=0，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求△ABC的面积．
（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数．
（3）在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质,非负数的性质：偶次方,非负数的性质：算术平方根,坐标与图形性质,三角形的面积

专题：计算题

分析：（1）根据非负数的性质易得a=-2，b=2，然后根据三角形面积公式计算；
（2）过E作EF∥AC，根据平行线性质得BD∥AC∥EF，且∠3=

1

2

∠CAB=∠1，∠4=

1

2

∠ODB=∠2，所以∠AED=∠1+∠2=

1

2

（∠CAB+∠ODB）；然后把∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90° 代入计算即可；
（3）分类讨论：设P（0，t），当P在y轴正半轴上时，过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，利用S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4可得到关于t的方程，再解方程求出t；
当P在y轴负半轴上时，运用同样方法可计算出t．

解答：解：（1）∵（a+2）²+

b-2

=0，
∴a=2=0，b-2=0，
∴a=-2，b=2，
∵CB⊥AB
∴A（-2，0），B（2，0），C（2，2），
∴△ABC的面积=

1

2

×2×4=4；

（2）解：∵CB∥y轴，BD∥AC，
∴∠CAB=∠5，∠ODB=∠6，∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，
过E作EF∥AC，如图①，
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=

1

2

∠CAB=∠1，∠4=

1

2

∠ODB=∠2，
∴∠AED=∠1+∠2=

1

2

（∠CAB+∠ODB）=45°；


（3）解：①当P在y轴正半轴上时，如图②，
设P（0，t），
过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，
∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4，
∴

4(t-2+t)

2

-t-（t-2）=4，解得t=3，
②当P在y轴负半轴上时，如图③
∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4
∴

4(-t+2-t)

2

+t-（2-t）=4，解得t=-1，
∴P（0，-1）或（0，3）．

点评：本题考查了平行线的判定与性质：两直线平行，内错角相等．也考查了非负数的性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式．