Question

如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．

Answer 1

解：（1）直线BD和⊙O相切
证明：∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC
∴∠ABC=∠ODB
∵OD⊥BC
∴∠DBC+∠ODB=90°
∴∠DBC+∠ABC=90°
∴∠DBO=90°
∴直线BD和⊙O相切．

（2）连接AC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中，AB=10，BC=8
∴
∵直径AB=10
∴OB=5．
由（1），BD和⊙O相切
∴∠OBD=90°
∴∠ACB=∠OBD=90°
由（1）得∠ABC=∠ODB，
∴△ABC∽△ODB
∴
∴，解得BD=．
分析：（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以有∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，所以∠ABC=∠ODB，OD⊥弦BC，即∠ABC+∠BOD=90°，则有∠ODB+∠BOD=90°，即BD垂直于AB，所以BD为切线．
（2）连接AC，由于AB为直径，所以AC和BC垂直，又由（1）知∠ABC=∠ODB，所以有△ACB∽△OBD，而AC可由勾股定理求出，所以根据对应线段成比例求出BD．
点评：此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定的综合运用．