题目内容

【题目】阅读材料,在平面直角坐标系中,已知x轴上两点A(x1,0),B(x2,0)的距离记作AB=|x1﹣x2|;若A,B是平面上任意两点,我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离,如图,A,B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1BM2、BN2,垂足分别是M1、N1、M2、N2,直线AN1BM2于点Q,在RtABQ中,AQ=|x1﹣x2|,BQ=|y1﹣y2|,AB2=AQ2+BQ2=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2,由此得到平面直角坐标系内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式为:

(1)AB=

(2)直接应用平面内两点间距离公式计算点A(1,﹣3),B(﹣2,1)之间的距离为

(3)根据阅读材料并利用平面内两点间的距离公式,求代数式的最小值.

【答案】(1);(2)5;(3)

【解析】分析:(1)通过作铅垂线构造直角三角形,利用勾股定理进行求解即可,

(2)根据(1)结论代入两点坐标计算即可,(3) 代数式+的最小值表示在x轴上找一点Px,0),A(0,2),B(3,1)的距离之和最小,可以通过作对称转化为两点间线段距离最短,再利用两点之间距离公式计算即可求解.

详解:(1)AB2=AQ2+BQ2=|x1x2|2+|y1y2|2=(x1x22+(y1y22,

AB=,故答案为

(2)A(1,﹣3),B(﹣2,1),

AB==5,故答案为5.

(3)代数式+的最小值表示在x轴上找一点Px,0),A(0,2),B(3,1)的距离之和最小,如图,

A关于x轴的对称点A′,连接BA′x轴的交点即为所求的点P.此时PA+PB最小,

A′(0,﹣2),B(3,1),

PA+PB=PA′+PB=BA′==3

∴代数式+的最小值为3

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