题目内容
如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为,
,
,将此三角板绕原点
顺时针旋转
,得到
.
(1)如图,一抛物线经过点,求该抛物线解析式;
(2)设点是在第一象限内抛物线上一动点,求使四边形
的面积达到最大时点
的坐标及面积的最大值.
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解:(1)∵抛物线过
设抛物线的解析式为
又∵抛物线过,将坐标代入上解析式得:
即满足条件的抛物线解析式为
(2)(解法一):如图1,∵
为第一象限内抛物线上一动点,
设则
点坐标满足
连接
=
当时,
最大.
此时,.即当动点
的坐标为
时,
最大,最大面积为
(解法二):如图2,连接为第一象限内抛物线上一动点,
且
的面积为定值,
最大时
必须最大.
∵
长度为定值,∴
最大时点
到
的距离最大.
即将直线向上平移到与抛物线有唯一交点时,
到
的距离最大.
设与直线平行的直线
的解析式为
联立
得
令
解得此时直线
的解析式为:
解得
∴直线与抛物线唯一交点坐标为
设与
轴交于
则
过作
于
在
中,
过作
于
则
到
的距离
此时四边形的面积最大.
∴的最大值=

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