Question

已知，在△ABC中，∠C=90°，斜边长为7

1

2

，两直角边的长分别是关于x的方程x2-3(m+

1

2

)x+9m=0
的两个根，则△ABC的内切圆面积是（　　）

• A、4π
• B、

  3

  2

  π
• C、

  7

  4

  π
• D、

  9

  4

  π

Answer 1

分析：由根与系数的关系可得：x₁+x₂=3（m+

1

2

），x₁•x₂=9m；根据勾股定理得：x₁²+x₂²=（

15

2

）²，则整理得：m²-m-6=0，解关于m的一元二次方程可得m=3；又知直角三角形内切圆的半径r=

1

2

（a+b-c），则r=

3

2

，所以可求圆的面积为

9

4

π．

解答：解：∵x₁+x₂=3（m+

1

2

），x₁•x₂=9m；
∴x₁²+x₂²=（

15

2

）²，
整理得m²-m-6=0，
解得m=-2或3，
经验证m=-2不合题意，则m=3；
又∵直角三角形内切圆的半径r=

1

2

（a+b-c），
∴r=

3

2

，
∴圆的面积为

9

4

π．

点评：本题考查了三角形的内切圆面积计算及根与系数的关系．