Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+x+c过A（﹣1，0），B（0，2）两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）M为抛物线对称轴与x轴的交点，N为x轴上对称轴上任意一点，若tan∠ANM=，求M到AN的距离．

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）M到AN的距离；（3）满足条件的点P的坐标为P（1，1）或P（1，﹣1）或P（1，0）或P（1，）．

【解析】

（1）直接用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）先确定出抛物线对称轴，由tan∠ANM==求得MN的长，再求得AN的长，在Rt△AMN中，用面积公式求得M到AN的距离即可；（3）设出点P的坐标，表示出AB，AP，BP，分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况求解即可．

（1）∵抛物线y=ax2+x+c过A（﹣1，0），B（0，2）两点，

∴

∴，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；

（2）由（1）有，抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；

∴抛物线对称轴为x=1，

∴M（1，0），

∴AM=2，

∵tan∠ANM=，

∴，

∴MN=4，

∵N为x轴上对称轴上任意一点，

∴N（1，4），

∴AN==2，

设M到AN的距离为h，

在Rt△AMN中， AM×MN=AN×h，

∴h===，

∴M到AN的距离；

（3）存在，

理由：设点P（1，m），

∵A（﹣1，0），B（0，2），

∴AB=，AP=，BP=，

∵△PAB为等腰三角形，

∴①当AB=AP时，

∴=，

∴m=±1，

∴P（1，1）或P（1，﹣1），

②当AB=BP时，

∴=，

∴m=4或m=0，

∴P（1，4）（此时点A，B，P三点共线，故舍去）或P（1，0）；

③当AP=BP时，

∴=，

∴m=，

∴P（1，）；

即：满足条件的点P的坐标为P（1，1）或P（1，﹣1）或P（1，0）或P（1，）.