题目内容

【题目】综合与实践
在数学活动课上,老师给出如下问题,让同学们展开探究活动:
问题情境:
如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=a,点D为AB上一点(0<AD< AB),将线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到的对应线段为CE,过点E作EF∥AB,交BC于点F.请你根据上述条件,提出恰当的数学问题并解答.

解决问题:
下面是学习小组提出的三个问题,请你解答这些问题:
(1)“兴趣”小组提出的问题是:求证:AD=EF.
(2)“实践”小组提出的问题是:如图(2),若将△ACD沿AB的垂直平分线对折,得到△BCG,连接EG,则线段EG与EF有怎样的数量关系?请说明理由.

(3)“奋进”小组在“实践”小组探究的基础上,提出了如下问题:延长EF与AC交于点H,连接HD,FG.求证:四边形DGFH是矩形.
提出问题:
(4)完成上述问题的探究后,老师让同学们结合图(3),提一个与四边形DGFH有关的问题.
“智慧”小组提出的问题是:当AD为何值时,四边形DGFH的面积最大?
请你参照智慧小组的做法,再提出一个与四边形DGFH有关的数学问题(提出问题即可,不要求进行解答,但所提问题必须有效)
你提出的问题是:

【答案】
(1)证明:连接BE,如图1所示:

∵∠DCE=∠ACB=90°,

∴∠ACD=∠BCE,

在△ACD和△BCE中,

∴△ACD≌△BCE(SAS).

∴AD=BE,∠CBE=∠CAD=45°.

∴∠ABE=90°.

∵EF∥AB,

∴∠FEB+∠ABE=180°,

∴∠FEB=90°,

∴∠EFB=∠EBF=45°,

∴EF=BE,

∴AD=EF


(2)解:EG= EF.理由如下:如图2所示,连接BE.

由(1)可知,BE=AD,EF=AD,BE⊥AB.

∵AD=BG,

∴BE=BG=EF,

∴∠BGE=∠BEG=45°,

∴EG= BG,

∴EG= EF


(3)证明:如图3所示,连接BE.

∵FH∥AB,

∴∠CHF=∠A=45°,∠CFH=∠B=45°,

∴∠CHF=∠CFH,

∴CH=CF.

∵△ACD与△BCG对称,点D的对应点为G,

∴CD=CG,∠HCD=∠FCG,

在△HCD和△FCG中,

∴△HCD≌△FCG(SAS),

∴DH=FG,∠CDH=∠CGF.

又∵∠CDA=∠CGB,

∴∠HDA=∠FGB.

由(1),(2)可知,BG=EF=BE,BG∥EF,∠EBG=90°,

∴四边形BEFG为正方形,

∴∠FGB=90°.

∴∠HDG=∠HDA=90°.

∴HD∥FG,

又∵HF∥DG,

∴四边形DGFH是平行四边形,

∴四边形DGFH为矩形


(4)当AD为何值时,四边形DGFH为正方形
【解析】(4)解:当AD为何值时,四边形DGFH为正方形(答案不唯一);

所以答案是:当AD为何值时,四边形DGFH为正方形.

【考点精析】通过灵活运用翻折变换(折叠问题)和旋转的性质,掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等;①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了即可以解答此题.

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