Question

如图．在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．把一块三角板的直角顶点记作P．把点P放在BC边上，上下移动，一条直角边始终经过点A，另一条直角边所在的直线与直线DC、AB分别交于点E、F
（1）写出图中所有与△APB相似的三角形；
（2）当△PEC与△APB的面积比为4：9时，求PB的长．

Answer 1

分析：（1）利用互余易得到△APB、△PBF、△AFP、△PEC中两组角对应相等，根据三角形相似的判定即可得到答案；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方易得PC²：AB²=4：9，则PC：AB=2：3，可求出PC，由PB=BC-PC得到PB．

解答：解：（1）与△APB相似的三角形有：△PBF，△AFP，△PEC；

（2）∵Rt△PEC∽Rt△APB，△PEC与△APB的面积比为4：9，
∴PC²：AB²=4：9，
∴PC：AB=2：3，
而AB=4，
∴PC=

8

3

，
∵BC=AD=6，
∴PB=6-

8

3

=

10

3

．

点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了矩形的性质．