Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连结EF，则下列结论正确的个数有（　　）
①∠EAF=45°；②△EBF为等腰直角三角形；③EA平分∠CEF；④BE²+CD²=ED²．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△ABF和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠CAD，然后求出∠EAF=45°，判断出①正确；
根据全等三角形对应边相等可得BF=CD，BE与CD不一定相等，判断出②错误；
根据角的度数得到∠EAF=∠EAD，然后利用“边角边”证明△AED和△AEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEF=∠AED，判断出③正确；
根据全等三角形对应边相等可得EF=ED，然后利用勾股定理得到④正确．

解答：解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴∠BAF=∠CAD，AF=AD，BF=CD，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠CAD+∠BAE=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°，故①正确；
∵BE与CD不一定相等，
∴BE、BF不一定相等，
∴△EBF不一定是等腰直角三角形，故②错误；
在△AED和△AEF中，

AF=AD ∠EAF=∠DAE=45° AE=AE

，
∴△AED≌△AEF（SAS），
∴∠AEF=∠AED，EF=ED，
即EA平分∠CEF，故③正确；
∵Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠ABE=∠C=45°，
∴在△BEF中，∠EBF=∠ABE+∠ABF=45°+45°=90°，
根据勾股定理，BE²+BF²=EF²，
∵BF=CD，EF=ED，
∴BE²+CD²=ED²，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选C．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．