题目内容
如图，Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为（-3，0）．（0，4），抛物线y=
x2+bx+c经过点B，点M（
，
）是该抛物线对称轴上的一点．
（1）b=
（2）若把△AOB沿x轴向右平移得到△DCE，点A，B，O的对应点分别为D，C，E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接BD．若点P是线段OB上的一个动点（点P与点O，B不重合），过点P作PQ∥BD交x轴于点Q，连接PM，QM．设OP的长为t，△PMQ的面积为S．
①当t为何值时，点Q，M，C三点共线；
②求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（1）b=
-
| 10 |
| 3 |
-
，c=| 10 |
| 3 |
4
4
；（2）若把△AOB沿x轴向右平移得到△DCE，点A，B，O的对应点分别为D，C，E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接BD．若点P是线段OB上的一个动点（点P与点O，B不重合），过点P作PQ∥BD交x轴于点Q，连接PM，QM．设OP的长为t，△PMQ的面积为S．
①当t为何值时，点Q，M，C三点共线；
②求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据点M是抛物线对称轴上的点列式求解即可得到b，把点B的坐标代入抛物线求解即可得到c；
（2）利用勾股定理列式求出AB，再根据菱形的四条边都相等表示出点D、C的坐标，然后根据抛物线图象上点的坐标特征进行验证即可；
（3）①利用待定系数法求一次函数解析式求出直线MC，令y=0解方程求出点Q的坐标，从而得到OQ的长，根据点D的坐标求出OD的长，再根据△OPQ和△OBD相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，即可得解；
②设抛物线对称轴与x轴交点为N，表示出OQ、QN，然后根据S△PMQ=S梯形MNOP-S△OPQ-S△MNQ，列式整理即可得解；根据点P在线段OB上求出t的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答．
（2）利用勾股定理列式求出AB，再根据菱形的四条边都相等表示出点D、C的坐标，然后根据抛物线图象上点的坐标特征进行验证即可；
（3）①利用待定系数法求一次函数解析式求出直线MC，令y=0解方程求出点Q的坐标，从而得到OQ的长，根据点D的坐标求出OD的长，再根据△OPQ和△OBD相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，即可得解；
②设抛物线对称轴与x轴交点为N，表示出OQ、QN，然后根据S△PMQ=S梯形MNOP-S△OPQ-S△MNQ，列式整理即可得解；根据点P在线段OB上求出t的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答．
解答：解：（1）∵点M（
，
）是该抛物线对称轴上的一点，
∴-
=-
=
，
解得a=-
，
∵点B（0，4）在抛物线上，
∴x=0时，c=4，
∴抛物线为y=
x2-
x+4；
故答案为：-
；4；
（2）∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
由勾股定理得，AB=
=
=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=5，
∴点C（5，4），D（2，0），
当x=5时，y=
×52-
×5+4=4，
当x=2时，y=
×22-
×2+4=0，
∴点C、D都在该抛物线上；
（3）①设直线MC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
，
解得
，
∴直线MC的解析式为y=x-1，
令y=0，则x-1=0，
解得x=1，
∴点Q，M，C三点共线时，OQ=1，
∵D（2，0），
∴OD=2，
∵PQ∥BD，
∴△OPQ∽△OBD，
∴
=
，
即
=
，
解得t=2，
即t=2时，点Q，M，C三点共线；
②如图，设抛物线对称轴与x轴交点为N，
则OQ=
•OD=
×2=
，ON=
，QN=
-
，
S△PMQ=S梯形MNOP-S△OPQ-S△MNQ，
=
×（
+t）×
-
×
×t-
×（
-
）×
，
=-
t2+
t，
∵点P是线段OB上的一个动点（点P与点O，B不重合），
∴0＜t＜4，
∴S与t的函数关系式为S=-
t2+
t（0＜t＜4）；
∵-
＜0，
∴t=-
=
时，有最大值，
最大值为
=
，此时P（0，
）．
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴-
| b |
| 2a |
| b | ||
2×
|
| 5 |
| 2 |
解得a=-
| 10 |
| 3 |
∵点B（0，4）在抛物线上，
∴x=0时，c=4，
∴抛物线为y=
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
故答案为：-
| 10 |
| 3 |
（2）∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
由勾股定理得，AB=
| OA2+OB2 |
| 32+42 |
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=5，
∴点C（5，4），D（2，0），
当x=5时，y=
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
当x=2时，y=
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
∴点C、D都在该抛物线上；
（3）①设直线MC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
|
解得
|
∴直线MC的解析式为y=x-1，
令y=0，则x-1=0，
解得x=1，
∴点Q，M，C三点共线时，OQ=1，
∵D（2，0），
∴OD=2，
∵PQ∥BD，
∴△OPQ∽△OBD，
∴
| OP |
| OB |
| OQ |
| OD |
即
| t |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
解得t=2，
即t=2时，点Q，M，C三点共线；
②如图，设抛物线对称轴与x轴交点为N，
则OQ=
| OP |
| OB |
| t |
| 4 |
| t |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| t |
| 2 |
S△PMQ=S梯形MNOP-S△OPQ-S△MNQ，
=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| t |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| t |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
=-
| 1 |
| 4 |
| 13 |
| 8 |
∵点P是线段OB上的一个动点（点P与点O，B不重合），
∴0＜t＜4，
∴S与t的函数关系式为S=-
| 1 |
| 4 |
| 13 |
| 8 |
∵-
| 1 |
| 4 |
∴t=-
| ||
2×(-
|
| 13 |
| 4 |
最大值为
-(
| ||
4×(-
|
| 169 |
| 64 |
| 13 |
| 4 |
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线的顶点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积的表示，以及二次函数的最值问题．
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