题目内容

如图，Rt△AOB的两直角边OB、OA分别位于x轴、y轴上，OA=6，OB=8．

（1）如图1，将△AOB折叠，点B恰好落在点O处，折痕为CD1，求出D1的坐标；
（2）如图2，将△AOB折叠，点O恰好落在AB边上的点C处，折痕为AD2，求出D2的坐标；
（3）如图3，将△AOB折叠，点O落在△AOB内的点C处，OD3=2，折痕为AD3，AD3与OC交于点E，求出点C的横坐标．
分析：（1）根据折叠的性质可得OD1=BD1，然后求出OD1，再写出点D1的坐标即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB，再根据折叠的性质可得AC=OA，OD2=CD2，然后表示出BC，设OD2=x，表示出BD2，在Rt△BCD2中，利用勾股定理列出方程求出x，再写出点D1的坐标；
（3）在Rt△AOD3中，利用勾股定理列式求出AD3，根据翻折的性质可得OE⊥AD3且OC=2OE，然后利用三角形的面积求出OE的长，从而得到OC的长，过点C作CF⊥x轴于F，然后求出△AOD3和△OFC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF、CF，再根据点C在第一象限写出坐标即可．
解答：解：（1）由折叠的性质得，OD1=BD1，
所以，OD1=
1
2
OB=
1
2
×8=4，
所以点D1（4，0）；

（2）∵OA=6，OB=8，
∴AB=
OA2+OB2
=
62+82
=10，
由折叠的性质得，AC=OA=6，OD2=CD2，
∴BC=AB-AC=10-6=4，
设OD2=x，则BD2=8-x，
在Rt△BCD2中，CD22+BC2=BD22，
即x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴点D2的坐标为（3，0）；

（3）在Rt△AOD3中，AD3=
OA2+OD32
=
62+22
=2
10
，
由翻折的性质得，OE⊥AD3且OC=2OE，
S△AOD3=
1
2
AD3•OE=
1
2
OA•OD3，
∴
1
2
×2
10
OE=
1
2
×6×2，
解得OE=
3
10
5
，
∴OC=2×
3
10
5
=
6
10
5
，
过点C作CF⊥x轴于F，
∵∠COF+∠AD3O=180°-90°=90°，
∠AD3O+∠OAD3=90°，
∴∠OAD3=∠COF，
又∵∠AOD3=∠OFC=90°，
∴△AOD3∽△OFC，
∴
OF
OA
=
CF
OD3
=
OC
AD3
，
即
OF
6
=
CF
2
=
6
10
5
2
10
=
3
5
，
解得OF=
18
5
，CF=
6
5
，
所以，点C的坐标为（
18
5
，
6
5
）．
点评：本题考查了翻折变换的性质，坐标与图形性质，主要利用了勾股定理，相似三角形的判定与性质，此类题目，熟记各性质并根据勾股定理列出方程是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
8、如图，Rt△AOB的斜边OA在y轴上，且OA=5，OB=4．将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转一定的角度，使直角边OB落在x轴的负半轴上得到相应的Rt△A′OB′，则A′点的坐标是
（-4，3）
．
精英家教网如图，Rt△AOB的顶点A是一次函数y=-x+（k+1）的图象与反比例函数y=
k
x
的图象在第四象限的交点，AB垂直x轴于B，且S△AOB=
3
2
．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求出它们的交点A、C的坐标和△AOC的面积．
（2004•泰安）如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB的长分别是1和3，将△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°，至△DOC的位置．
（1）求过C、B、A三点的二次函数的解析式；
（2）若（1）中抛物线的顶点是M，判定△MDC的形状，并说明理由．
如图，Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为（-3，0）．（0，4），抛物线y=
2
3
x2+bx+c经过点B，点M（
5
2
，
3
2
）是该抛物线对称轴上的一点．
（1）b=
-
10
3
-
10
3
，c=
4
4
；
（2）若把△AOB沿x轴向右平移得到△DCE，点A，B，O的对应点分别为D，C，E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接BD．若点P是线段OB上的一个动点（点P与点O，B不重合），过点P作PQ∥BD交x轴于点Q，连接PM，QM．设OP的长为t，△PMQ的面积为S．
①当t为何值时，点Q，M，C三点共线；
②求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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