Question

（本题满分12分）已知二次函数的图象如图.
（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.
 

Answer 1

（本题满分12分）
解: （1）由得 …………1分
∴Ｄ（３，０）…………2分
（2）方法一:
如图1, 设平移后的抛物线的解析式为
  …………3分
则C  OC=
令  即 
得     …………4分
∴A，B
∴………5分

……………………6分
∵
即:
得    (舍去) ……………7分
∴抛物线的解析式为 ……………8分
方法二:
∵          ∴顶点坐标
设抛物线向上平移h个单位,则得到,顶点坐标…………3分
∴平移后的抛物线: ……………………4分
当时,, 得    
∴ A  B……………………5分
∵∠ACB=90°  ∴△AOC∽△COB
∴OA·OB……………………6分
   得 ,…………7分
∴平移后的抛物线: …………8分
（3）方法一:
如图2,由抛物线的解析式可得
A(-2 ，0)，B(8，0)，C(４，0) ，M …………9分
过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H,
则  
∴ 

在Rt△COD中,CD==AD   
∴点C在⊙D上 …………………10分
∵
  ……11分
∴
∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM
∴直线CM与⊙D相切 …………12分
方法二:
如图3,由抛物线的解析式可得
A(-2 ，0)，B(8，0)，C(４，0) ，M …………9分
作直线CM,过D作DE⊥CM于E, 过M作MH垂直y轴于H,则, , 由勾股定理得
∵DM∥OC          
∴∠MCH=∠EMD
∴Rt△CMH∽Rt△DME  …………10分
∴   得   …………11分
由(2)知   ∴⊙D的半径为5 
∴直线CM与⊙D相切  …………12分

解析