题目内容
【题目】已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣3(m是常数).
(1)证明:无论m取什么实数,该抛物线与x轴都有两个交点;
(2)设抛物线的顶点为A,与x轴两个交点分别为B,D,B在D的右侧,与y轴的交点为C.
①求证:当m取不同值时,△ABD都是等边三角形;
②当|m|≤,m≠0时,△ABC的面积是否有最大值,如果有,请求出最大值,如果没有,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②.
【解析】
(1)令y=0可得出关于x的一元二次方程,由该方程的根的判别式△=12>0,可证出:无论m取什么实数,该抛物线与x轴都有两个交点;
(2)利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征,可求出点A,B,C,D的坐标.
①在Rt△ABE中,利用勾股定理可得出AB=2BE可得出∠BAE=30°,同理,可得出∠DAE=30°及∠BAD=60°,再结合AB=AD即可证出:当m取不同值时,△ABD都是等边三角形;
②分0<m≤及-≤m<0两种情况找出S△ABC关于m的函数关系式,利用二次函数的性质或一次函数的性质求出S△ABC的最大值,比较后即可得出结论.
(1)证明:令y=0,则有x2-2mx+m2-3=0.
∵△=(-2m)2-4×1×(m2-3)=12>0,
∴关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-3=0有两个不相等的实数根,
∴无论m取什么实数,该抛物线与x轴都有两个交点;
(2)解:∵y=x2-2mx+m2-3=(x-m)2-3,
∴顶点A的坐标为(m,-3),
设抛物线对称轴与x轴的交点为E,则点E的坐标为(m,0);
当x=0时,y=x2-2mx+m2-3=m2-3,
∴点C的坐标为(0,m2-3);
当y=0时,x2-2mx+m2-3=0,即(x-m)2=3,
解得:x1=m-,x2=m+,
∴点D的坐标为(m-,0),点B的坐标为(m+,0).
①证明:在Rt△ABE中,AE=3,BE=m+-m=,
∴AB==2=2BE,
∴∠BAE=30°.
同理,可得出:∠DAE=30°,
∴∠BAD=∠BAE+∠DAE=60°.
又∵AB=AD,
∴当m取不同值时,△ABD都是等边三角形.
②分两种情况考虑:
(i)当0<m≤时,如图2所示.
S△ABC=S梯形OCAE+S△ABE-S△OCB,
=OE(OC+AE)+AEBE-OCOB,
=m(3-m2+3)+×3×(m+-m)-(3-m2)(m+),
=m2+m=(m+)2-,
∵>0,
∴当0<m≤时,S△ABC随m的增大而增大,
∴当m=时,S△ABC取得最大值,最大值为3;
(ii)当-≤m<0时,如图3所示.
S△ABC=S梯形EACO+S△OCB-S△ABE,
=OE(OC+AE)+OCOB-AEBE,
=-m(3-m2+3)+(3-m2)(m+)-(m+-m)(3-m2)=-m,
∵-<0,
∴当-≤m<0时,S△ABC随m的增大而减小,
∴当m=-时,S△ABC取得最大值,最大值为.
∵3>,
∴当m=时,△ABC的面积取得最大值,最大值为3.