Question

如图，在⊙M中，弦AB所对的圆心角∠AMB=120°．已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系．
（1）求圆心M的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线解析式．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的性质可知∠AMO=

1

2

∠AMB=60°，由直角三角形的性质可求出M点的坐标．
（2）根据△AOM与△BOM是直角三角形，∠AMO=∠BMO=60°，可求出A、B两点的坐标，因为A、B两点关于y轴对称，故此抛物线关于y轴对称，根据此特点可设出抛物线的解析式，把A、B两点的坐标代入即可求出未知数的值，从而求出其解析式．

解答：解：（1）∵MA=MB，OM⊥AB，∠AMB=120°，
∴∠BMO=

1

2

∠AMB=60°，
∴∠OBM=30°，
∴OM=

1

2

MB=1，
∴M（0，1）；

（2）∵OC=MC-MO=1，OB=

MB2-OM2

=

3

，
∴C（0，-1），B（

3

，O）．
∵经过A，B，C三点的抛物线关于y轴对称，
∴设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+c（a≠0）．
把C（0，-1）和B（

3

，O）分别代入上式，得

-1=c 0=3a+c

，
解得

a= 1 3 c=-1

，
∴经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=

1

3

x²-1．

点评：本题考查了圆的综合题．其中涉及到了圆的性质、二次函数图象上点的坐标特点以及待定系数法求二次函数的解析式，比较复杂，但难度适中．