题目内容
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①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为
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其中正确的是( )
分析:首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB,故选项①正确;由①可得∠BEP=90°,故BE不垂直于AE过点B作BM⊥AE延长线于M,由①得∠AEB=135°所以∠EMB=45°,所以△EMB是等腰Rt△,求出B到直线AE距离为BF,即可对于②作出判断;根据三角形的面积公式得到S△BPD=
PD×BE=
,所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+
,由此即可对③判定.
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解答:
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,AB=AD,
∴∠BAP+∠PAD=90°,
∵EA⊥AP,
∴∠EAB+∠BAP=90°,
∴∠PAD=∠EAB,
∵在△APD和△AEB中,
,
∴△APD≌△AEB(SAS),故①正确;
∵△AEP为等腰直角三角形,
∴∠AEP=∠APE=45°,
∴∠APD=∠AEB=135°,
∴∠BEP=90°,
过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,则BF的长是点B到直线AE的距离,
在△AEP中,AE=AP=1,根据勾股定理得:PE=
,
在△BEP中,PB=
,PE=
,由勾股定理得:BE=
,
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°,AE=AP,
∴∠AEP=45°,
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°,
∴∠EBF=45°,
∴EF=BF,
在△EFB中,由勾股定理得:EF=BF=
,
故②是错误的;
由△APD≌△AEB,
∴PD=BE=
,
∵S△BPD=
PD×BE=
,
∴S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+
,
∴S正方形ABCD=2S△ABD=4+
.故选项③正确,
则正确的序号有:①③.
故选B.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201304/55/e3ce20a5.png)
∴∠BAD=90°,AB=AD,
∴∠BAP+∠PAD=90°,
∵EA⊥AP,
∴∠EAB+∠BAP=90°,
∴∠PAD=∠EAB,
∵在△APD和△AEB中,
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∴△APD≌△AEB(SAS),故①正确;
∵△AEP为等腰直角三角形,
∴∠AEP=∠APE=45°,
∴∠APD=∠AEB=135°,
∴∠BEP=90°,
过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,则BF的长是点B到直线AE的距离,
在△AEP中,AE=AP=1,根据勾股定理得:PE=
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在△BEP中,PB=
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∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°,AE=AP,
∴∠AEP=45°,
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°,
∴∠EBF=45°,
∴EF=BF,
在△EFB中,由勾股定理得:EF=BF=
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故②是错误的;
由△APD≌△AEB,
∴PD=BE=
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∵S△BPD=
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∴S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+
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∴S正方形ABCD=2S△ABD=4+
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则正确的序号有:①③.
故选B.
点评:此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理,综合性比较强,解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题.
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